∫x^(6)⋅ Ln (x^(3))dx
Introducción
La integración de funciones compuestas es un tema fundamental en cálculo integral. En este artículo, nos enfocaremos en la integración de la función ∫x^(6)⋅ ln (x^(3))dx, que es un ejemplo clásico de integración de funciones compuestas. La integración de esta función requiere la aplicación de técnicas avanzadas de cálculo integral, como la regla de la cadena y la regla de la potencia.
Regla de la Cadena
La regla de la cadena es una técnica fundamental en cálculo integral que permite integrar funciones compuestas. La regla establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx. En el caso de la función ∫x^(6)⋅ ln (x^(3))dx, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función.
Aplicación de la Regla de la Cadena
Para aplicar la regla de la cadena, necesitamos encontrar la derivada de la función g(x) = x^(3). La derivada de g(x) es g'(x) = 3x^(2). Ahora, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función ∫x^(6)⋅ ln (x^(3))dx.
∫x^(6)⋅ ln (x^(3))dx = ∫x^(6)⋅ ln (x(3))⋅3x(2)dx
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral usando la propiedad de la potencia. La propiedad establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅x(n), entonces la función es igual a x^(m+n). En este caso, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫x^(6)⋅ ln (x(3))⋅3x(2)dx = ∫x^(6+2)⋅ ln (x^(3))dx
Aplicación de la Regla de la Potencia
Ahora, podemos aplicar la regla de la potencia para integrar la función ∫x^(8)⋅ ln (x^(3))dx. La regla establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Cálculo de la Integral
Ahora, podemos calcular la integral de la siguiente manera:
∫x^(8)⋅ ln (x^(3))dx = (x(9)⋅ln(x(3)) - ∫(x(9)⋅(3/x)⋅ln(x(3))dx)/9
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫x^(8)⋅ ln (x^(3))dx = (x(9)⋅ln(x(3)) - ∫(3x(8)⋅ln(x(3))dx)/9
Aplicación de la Regla de la Cadena
Ahora, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función ∫3x(8)⋅ln(x(3))dx. La regla establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx. En este caso, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función.
∫3x(8)⋅ln(x(3))dx = ∫3x(8)⋅ln(x(3))⋅3x^(2)dx
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫3x(8)⋅ln(x(3))⋅3x^(2)dx = ∫9x(10)⋅ln(x(3))dx
Aplicación de la Regla de la Potencia
Ahora, podemos aplicar la regla de la potencia para integrar la función ∫9x(10)⋅ln(x(3))dx. La regla establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Cálculo de la Integral
Ahora, podemos calcular la integral de la siguiente manera:
∫9x(10)⋅ln(x(3))dx = (9x(11)⋅ln(x(3)) - ∫(9x(11)⋅(3/x)⋅ln(x(3))dx)/11
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫9x(10)⋅ln(x(3))dx = (9x(11)⋅ln(x(3)) - ∫27x(10)⋅ln(x(3))dx)/11
Aplicación de la Regla de la Cadena
Ahora, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función ∫27x(10)⋅ln(x(3))dx. La regla establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx. En este caso, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función.
∫27x(10)⋅ln(x(3))dx = ∫27x(10)⋅ln(x(3))⋅3x^(2)dx
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫27x(10)⋅ln(x(3))⋅3x^(2)dx = ∫81x(12)⋅ln(x(3))dx
Aplicación de la Regla de la Potencia
Ahora, podemos aplicar la regla de la potencia para integrar la función ∫81x(12)⋅ln(x(3))dx. La regla establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Cálculo de la Integral
Ahora, podemos calcular la integral de la siguiente manera:
∫81x(12)⋅ln(x(3))dx = (81x(13)⋅ln(x(3)) - ∫(81x(13)⋅(3/x)⋅ln(x(3))dx)/13
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫81x(12)⋅ln(x(3))dx = (81x(13)⋅ln(x(3)) - ∫243x(12)⋅ln(x(3))dx)/13
Aplicación de la Regla de la Cadena
Ahora, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función ∫243x(12)⋅ln(x(3))dx. La regla establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx. En este caso, podemos aplicar la regla de la cadena para integrar la función.
∫243x(12)⋅ln(x(3))dx = ∫243x(12)⋅ln(x(3))⋅3x^(2)dx
Simplificación de la Integral
Ahora, podemos simplificar la integral de la siguiente manera:
∫243x(12)⋅ln(x(3))⋅3x^(2)dx = ∫729x(14)⋅ln(x(3))dx
Aplicación de la Regla de la Potencia
Preguntas Frecuentes
Q: ¿Qué es la integración de funciones compuestas?
A: La integración de funciones compuestas es un tema fundamental en cálculo integral que implica integrar funciones que contienen otras funciones dentro de ellas.
Q: ¿Cuáles son las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas?
A: Las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas incluyen la regla de la cadena, la regla de la potencia y la sustitución.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la cadena establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la potencia para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la potencia establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Q: ¿Qué es la sustitución en la integración de funciones compuestas?
A: La sustitución es una técnica utilizada para integrar funciones compuestas que implica reemplazar la función compuesta por una nueva función que sea más fácil de integrar.
Q: ¿Cuáles son los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución?
A: Los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución son:
- Identificar la función compuesta y determinar la función que se utilizará para la sustitución.
- Reemplazar la función compuesta por la nueva función en la integral.
- Integrar la nueva función.
- Reemplazar la nueva función por la función original en la integral.
Q: ¿Qué es la regla de la potencia en la integración de funciones compuestas?
A: La regla de la potencia es una técnica utilizada para integrar funciones compuestas que implica integrar funciones que contienen potencias de x y funciones logarítmicas.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la potencia para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la potencia establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Q: ¿Qué es la regla de la cadena en la integración de funciones compuestas?
A: La regla de la cadena es una técnica utilizada para integrar funciones compuestas que implica integrar funciones que contienen otras funciones dentro de ellas.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la cadena establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx.
Q: ¿Qué es la sustitución en la integración de funciones compuestas?
A: La sustitución es una técnica utilizada para integrar funciones compuestas que implica reemplazar la función compuesta por una nueva función que sea más fácil de integrar.
Q: ¿Cuáles son los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución?
A: Los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución son:
- Identificar la función compuesta y determinar la función que se utilizará para la sustitución.
- Reemplazar la función compuesta por la nueva función en la integral.
- Integrar la nueva función.
- Reemplazar la nueva función por la función original en la integral.
Q: ¿Qué es la integración de funciones compuestas en la cálculo integral?
A: La integración de funciones compuestas es un tema fundamental en cálculo integral que implica integrar funciones que contienen otras funciones dentro de ellas.
Q: ¿Cuáles son las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas?
A: Las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas incluyen la regla de la cadena, la regla de la potencia y la sustitución.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la cadena establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la potencia para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la potencia establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Q: ¿Qué es la sustitución en la integración de funciones compuestas?
A: La sustitución es una técnica utilizada para integrar funciones compuestas que implica reemplazar la función compuesta por una nueva función que sea más fácil de integrar.
Q: ¿Cuáles son los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución?
A: Los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución son:
- Identificar la función compuesta y determinar la función que se utilizará para la sustitución.
- Reemplazar la función compuesta por la nueva función en la integral.
- Integrar la nueva función.
- Reemplazar la nueva función por la función original en la integral.
Q: ¿Qué es la integración de funciones compuestas en la cálculo integral?
A: La integración de funciones compuestas es un tema fundamental en cálculo integral que implica integrar funciones que contienen otras funciones dentro de ellas.
Q: ¿Cuáles son las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas?
A: Las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas incluyen la regla de la cadena, la regla de la potencia y la sustitución.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la cadena establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la potencia para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la potencia establece que si tenemos una función de la forma x(m)⋅ln(x(n)), entonces la integral de la función es igual a (x(m+1)⋅ln(x(n)) - ∫(x(m+1)⋅(n/x)⋅ln(x(n))dx)/m+1.
Q: ¿Qué es la sustitución en la integración de funciones compuestas?
A: La sustitución es una técnica utilizada para integrar funciones compuestas que implica reemplazar la función compuesta por una nueva función que sea más fácil de integrar.
Q: ¿Cuáles son los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución?
A: Los pasos para integrar una función compuesta utilizando la sustitución son:
- Identificar la función compuesta y determinar la función que se utilizará para la sustitución.
- Reemplazar la función compuesta por la nueva función en la integral.
- Integrar la nueva función.
- Reemplazar la nueva función por la función original en la integral.
Q: ¿Qué es la integración de funciones compuestas en la cálculo integral?
A: La integración de funciones compuestas es un tema fundamental en cálculo integral que implica integrar funciones que contienen otras funciones dentro de ellas.
Q: ¿Cuáles son las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas?
A: Las técnicas utilizadas para integrar funciones compuestas incluyen la regla de la cadena, la regla de la potencia y la sustitución.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la cadena para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la cadena establece que si tenemos una función de la forma f(g(x)), entonces la integral de f(g(x))dx es igual a f(g(x))⋅g'(x)dx.
Q: ¿Cómo se aplica la regla de la potencia para integrar funciones compuestas?
A: La regla de la potencia establece que si tenemos