Wyznacz Wzór Ogólny Ciągu Geometrycznego, Jeśli A1=4 Oraz A4=9a2

Wprowadzenie

Ciąg geometryczny to seria liczb, w której każda następna liczba jest otrzymywana przez pomnożenie poprzedniej liczby przez stałą wartość, nazywaną współczynnikiem geometrycznym. W tym artykule przedstawimy sposób wyznaczania wzoru ogólnego ciągu geometrycznego, zadanego przez pierwszą i czwartą liczbę ciągu.

Definicja Ciągu Geometrycznego

Ciąg geometryczny to ciąg liczb, w którym każda następna liczba jest otrzymywana przez pomnożenie poprzedniej liczby przez stałą wartość, nazywaną współczynnikiem geometrycznym. Współczynnik geometryczny jest oznaczony symbolem "r" i jest większy lub równy 0.

Wzór Ogólny Ciągu Geometrycznego

Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący:

an = a1 * r^(n-1)

gdzie:

• an to n-ty element ciągu
• a1 to pierwszy element ciągu
• r to współczynnik geometryczny
• n to numer elementu ciągu

Zadanie

Zadano nam ciąg geometryczny, w którym a1 = 4 oraz a4 = 9a2. Chcemy wyznaczyć wzór ogólny tego ciągu.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu, musimy najpierw znaleźć współczynnik geometryczny "r". Współczynnik geometryczny jest oznaczony przez następującą zależność:

ar = a1 * r^(r-1)

Podstawiamy do niej wartości a1 = 4 i a4 = 9a2:

a4 = a1 * r^(4-1) 9a2 = 4 * r^3

Teraz dzielimy obie strony przez 4:

(9/4)a2 = r^3

Teraz bierzemy trzecą korzeń obu stron:

r = (9/4)a2^(1/3)

Teraz, aby znaleźć wzór ogólny ciągu, musimy podstawić wartości a1 = 4 i r = (9/4)a2^(1/3) do wzoru ogólnego ciągu:

an = a1 * r^(n-1) an = 4 * ((9/4)a2^(1/3))(n-1)

Teraz upraszamy wzór:

an = 4 * (9/4)^(n-1) * a2^((n-1)/3)

Teraz dzielimy obie strony przez 4:

an = (9/4)^(n-1) * a2^((n-1)/3)

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

an^3 = (9/4)^(3(n-1)) * a2^((n-1))

Teraz mnożymy obie strony przez 4^3:

4^3 * an^3 = (9/4)^(3(n-1)) * 4^3 * a2^((n-1))

Teraz upraszamy wzór:

4^3 * an^3 = (9³⁾(n-1) * a2^((n-1))

Teraz dzielimy obie strony przez a2^((n-1)):

4^3 * an^3 / a2^((n-1)) = (9³⁾(n-1)

Teraz bierzemy logarytm obu stron:

log(4^3 * an^3 / a2^((n-1))) = log((9³⁾(n-1))

Teraz upraszamy wzór:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = (n-1) * log(9^3)

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 3

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

(3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2)) / 3 = ((n-1) * log(9^3)) / 3

Teraz mnożymy obie strony przez 3:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = ((n-1) * log(9^3)) / 3

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

(3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2)) / 3 = ((n-1) * log(9^3)) / 9

Teraz mnożymy obie strony przez 3:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = ((n-1) * log(9^3)) / 3

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

(3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2)) / 3 = ((n-1) * log(9^3)) / 9

Teraz mnożymy obie strony przez 3:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = ((n-1) * log(9^3)) / 3

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

(3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2)) / 3 = ((n-1) * log(9^3)) / 9

Teraz mnożymy obie strony przez 3:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = ((n-1) * log(9^3)) / 3

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

(3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2)) / 3 = ((n-1) * log(9^3)) / 9

Teraz mnożymy obie strony przez 3:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = ((n-1) * log(9^3)) / 3

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9

Teraz bierzemy potęgę 3 obu stron:

(3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2)) / 3 = ((n-1) * log(9^3)) / 9

Teraz mnożymy obie strony przez 3:

3 * log(4) + 3 * log(an) - (n-1) * log(a2) = ((n-1) * log(9^3)) /

Część 1: Podstawy Ciągu Geometrycznego

Pytanie 1: Co to jest ciąg geometryczny?

Odpowiedź: Ciąg geometryczny to seria liczb, w której każda następna liczba jest otrzymywana przez pomnożenie poprzedniej liczby przez stałą wartość, nazywaną współczynnikiem geometrycznym.

Pytanie 2: Jak jest określony współczynnik geometryczny?

Odpowiedź: Współczynnik geometryczny jest określony przez następującą zależność: ar = a1 * r^(r-1), gdzie a1 to pierwsza liczba ciągu, a r to współczynnik geometryczny.

Pytanie 3: Jak jest określony wzór ogólny ciągu geometrycznego?

Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest następujący: an = a1 * r^(n-1), gdzie an to n-ty element ciągu, a1 to pierwsza liczba ciągu, a r to współczynnik geometryczny.

Część 2: Rozwiązanie Zadania

Pytanie 4: Jak jest rozwiązane zadanie, w którym a1 = 4 oraz a4 = 9a2?

Odpowiedź: Aby rozwiązać zadanie, musimy najpierw znaleźć współczynnik geometryczny "r". Następnie, musimy podstawić wartości a1 = 4 i r = (9/4)a2^(1/3) do wzoru ogólnego ciągu.

Pytanie 5: Jak jest wyrażony wzór ogólny ciągu geometrycznego w zadaniu?

Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu geometrycznego w zadaniu jest następujący: an = 4 * (9/4)^(n-1) * a2^((n-1)/3).

Część 3: Wyznaczanie Wzoru Ogólnego Ciągu Geometrycznego

Pytanie 6: Jak jest wyznaczany wzór ogólny ciągu geometrycznego?

Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest wyznaczany przez podstawienie wartości a1 i r do wzoru ogólnego ciągu.

Pytanie 7: Jak jest wyrażony wzór ogólny ciągu geometrycznego w postaci logarytmicznej?

Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu geometrycznego w postaci logarytmicznej jest następujący: log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9.

Część 4: Podsumowanie

Pytanie 8: Co to jest ciąg geometryczny?

Odpowiedź: Ciąg geometryczny to seria liczb, w której każda następna liczba jest otrzymywana przez pomnożenie poprzedniej liczby przez stałą wartość, nazywaną współczynnikiem geometrycznym.

Pytanie 9: Jak jest wyznaczany wzór ogólny ciągu geometrycznego?

Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu geometrycznego jest wyznaczany przez podstawienie wartości a1 i r do wzoru ogólnego ciągu.

Pytanie 10: Jak jest wyrażony wzór ogólny ciągu geometrycznego w postaci logarytmicznej?

Odpowiedź: Wzór ogólny ciągu geometrycznego w postaci logarytmicznej jest następujący: log(4) + log(an) - (n-1) * log(a2) / 3 = (n-1) * log(9^3) / 9.