Um Morro Possui A Forma Definido Pelo Gráfico Da Função F X , Y = 100 - 4 X 2 - 5 Y 2 Onde X, Y São Dados Em Metros. No Ponto (10,20) Um Alpinista Inicia A Sua Subida Na Direção Do Vetor U → = - 1 2 , - 3 2. Assinale A Alternativa Que Contém A Taxa De

Introdução

Um morro com forma definida por uma função é um conceito matemático que descreve a geometria de um objeto tridimensional. Neste caso, a função é dada por f(x, y) = 100 - 4x^2 - 5y^2, onde x e y são medidas em metros. Um alpinista inicia sua subida no ponto (10, 20) na direção do vetor u = (-1/2, -3/2). Nesta seção, vamos calcular a taxa de subida do alpinista.

Função e Vetor

A função f(x, y) = 100 - 4x^2 - 5y^2 descreve a forma do morro. A função é uma parábola que se abre para baixo, com o vértice no ponto (0, 0). O vetor u = (-1/2, -3/2) é o vetor direção da subida do alpinista.

Taxa de Subida

A taxa de subida do alpinista é a velocidade com que ele se move em direção ao vetor u. Para calcular a taxa de subida, precisamos encontrar a derivada da função f(x, y) em relação ao vetor u.

Derivada da Função

A derivada da função f(x, y) em relação ao vetor u é dada pela seguinte fórmula:

dF/dU = (∂F/∂x)(∂x/∂U) + (∂F/∂y)(∂y/∂U)

onde ∂F/∂x e ∂F/∂y são as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y, respectivamente.

Cálculo da Derivada

A derivada parcial da função f(x, y) em relação a x é:

∂F/∂x = -8x

A derivada parcial da função f(x, y) em relação a y é:

∂F/∂y = -10y

A derivada de x em relação ao vetor u é:

∂x/∂U = -1/2

A derivada de y em relação ao vetor u é:

∂y/∂U = -3/2

Substituição dos Valores

Substituindo os valores das derivadas parciais e das derivadas de x e y em relação ao vetor u na fórmula da derivada da função, obtemos:

dF/dU = (-8x)(-1/2) + (-10y)(-3/2)

dF/dU = 4x + 15y

Taxa de Subida no Ponto (10, 20)

A taxa de subida do alpinista no ponto (10, 20) é dada pela seguinte expressão:

dF/dU = 4(10) + 15(20)

dF/dU = 40 + 300

dF/dU = 340

Conclusão

A taxa de subida do alpinista no ponto (10, 20) é de 340 metros por segundo. Isso significa que o alpinista está subindo a montanha a uma velocidade de 340 metros por segundo.

Referências

• [1] "Cálculo Diferencial e Integral" de James Stewart
• [2] "Geometria Analítica" de H. S. M. Coxeter

Palavras-Chave

• Função
• Vetor
• Derivada
• Taxa de subida
• Morro
• Geometria analítica
• Cálculo diferencial e integral
  Perguntas e Respostas sobre a Taxa de Subida de um Alpinista ===========================================================

Pergunta 1: O que é a taxa de subida de um alpinista?

Resposta: A taxa de subida de um alpinista é a velocidade com que ele se move em direção ao vetor direção da subida. É uma medida importante para determinar a eficiência da subida do alpinista.

Pergunta 2: Como é calculada a taxa de subida de um alpinista?

Resposta: A taxa de subida de um alpinista é calculada usando a fórmula da derivada da função que descreve a forma do morro. A fórmula é dada por dF/dU = (∂F/∂x)(∂x/∂U) + (∂F/∂y)(∂y/∂U), onde ∂F/∂x e ∂F/∂y são as derivadas parciais da função em relação a x e y, respectivamente.

Pergunta 3: Qual é a importância da taxa de subida de um alpinista?

Resposta: A taxa de subida de um alpinista é importante porque determina a eficiência da subida. Uma taxa de subida alta significa que o alpinista está subindo a montanha rapidamente, enquanto uma taxa de subida baixa significa que o alpinista está subindo a montanha lentamente.

Pergunta 4: Como é afetada a taxa de subida de um alpinista pela inclinação do morro?

Resposta: A taxa de subida de um alpinista é afetada pela inclinação do morro. Uma inclinação maior significa que a taxa de subida é maior, enquanto uma inclinação menor significa que a taxa de subida é menor.

Pergunta 5: Como é afetada a taxa de subida de um alpinista pela resistência do ar?

Resposta: A taxa de subida de um alpinista é afetada pela resistência do ar. Uma resistência maior significa que a taxa de subida é menor, enquanto uma resistência menor significa que a taxa de subida é maior.

Pergunta 6: Como é possível melhorar a taxa de subida de um alpinista?

Resposta: É possível melhorar a taxa de subida de um alpinista usando técnicas de subida eficientes, como a utilização de equipamentos de subida, a escolha de rotas de subida adequadas e a prática de exercícios de condicionamento físico.

Pergunta 7: Quais são as limitações da taxa de subida de um alpinista?

Resposta: As limitações da taxa de subida de um alpinista incluem a resistência do ar, a inclinação do morro e a capacidade física do alpinista. Além disso, a taxa de subida pode ser afetada por fatores como a temperatura, a umidade e a pressão atmosférica.

Pergunta 8: Como é possível medir a taxa de subida de um alpinista?

Resposta: A taxa de subida de um alpinista pode ser medida usando equipamentos de medição, como cronômetros e sensores de velocidade. Além disso, a taxa de subida pode ser estimada usando modelos matemáticos e simulações computacionais.

Pergunta 9: Quais são as implicações práticas da taxa de subida de um alpinista?

Resposta: As implicações práticas da taxa de subida de um alpinista incluem a escolha de rotas de subida adequadas, a utilização de equipamentos de subida eficientes e a prática de exercícios de condicionamento físico. Além disso, a taxa de subida pode ser usada para avaliar a eficiência da subida e identificar áreas de melhoria.

Pergunta 10: Quais são as perspectivas futuras da taxa de subida de um alpinista?

Resposta: As perspectivas futuras da taxa de subida de um alpinista incluem a desenvolvimento de novas técnicas de subida eficientes, a utilização de tecnologias avançadas, como sensores e drones, e a criação de modelos matemáticos e simulações computacionais mais precisos. Além disso, a taxa de subida pode ser usada para avaliar a eficiência da subida em diferentes condições e identificar áreas de melhoria.