(UFSCar) Uma Função F É Definida Recursivamente Como F ( N 1 ) = 5 F ( N ) 2 5 F( N 1 ) = \frac{5f(n) 2}{5} F ( N 1 ) = 5 5 F ( N ) 2 ​ Sendo F(1) = 5, O Valor De F(101) É: A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65.

**Uma Função Recursiva: Encontrando o Valor de f(101)**

Nesta discussão, vamos explorar uma função recursiva definida como $f( n 1 ) = \frac{5f(n) 2}{5}$. A função é inicializada com o valor $f(1) = 5$. O objetivo é encontrar o valor de $f(101)$.

Definição da Função

A função $f(n)$ é definida recursivamente como:

$$f( n 1 ) = \frac{5f(n) 2}{5}$$

onde $f(1) = 5$.

Q: O que é uma função recursiva?

A: Uma função recursiva é uma função que se define em termos de si mesma. Ela é chamada recursivamente até que seja alcançado um caso base, que é um valor conhecido.

Q: Como a função $f(n)$ é definida recursivamente?

A: A função $f(n)$ é definida recursivamente como $f( n 1 ) = \frac{5f(n) 2}{5}$, onde $f(1) = 5$.

Q: Qual é o caso base da função $f(n)$?

A: O caso base da função $f(n)$ é $f(1) = 5$.

Q: Como podemos encontrar o valor de $f(101)$?

A: Para encontrar o valor de $f(101)$, precisamos aplicar a definição recursiva da função $f(n)$ até que sejamos capazes de calcular o valor de $f(101)$.

Q: Qual é o valor de $f(101)$?

A: Vamos calcular o valor de $f(101)$ aplicando a definição recursiva da função $f(n)$:

$f(101) = \frac{5f(100) 2}{5}$

$f(100) = \frac{5f(99) 2}{5}$

$f(99) = \frac{5f(98) 2}{5}$

...

$f(3) = \frac{5f(2) 2}{5}$

$f(2) = \frac{5f(1) 2}{5}$

$f(1) = 5$

Agora, vamos substituir os valores de $f(1)$ em cada uma das equações acima:

$f(2) = \frac{5(5) 2}{5} = 25$

$f(3) = \frac{5(25) 2}{5} = 125$

$f(4) = \frac{5(125) 2}{5} = 625$

$f(5) = \frac{5(625) 2}{5} = 3125$

$f(6) = \frac{5(3125) 2}{5} = 15625$

$f(7) = \frac{5(15625) 2}{5} = 78125$

$f(8) = \frac{5(78125) 2}{5} = 390625$

$f(9) = \frac{5(390625) 2}{5} = 1953125$

$f(10) = \frac{5(1953125) 2}{5} = 9765625$

$f(11) = \frac{5(9765625) 2}{5} = 48828125$

$f(12) = \frac{5(48828125) 2}{5} = 244140625$

$f(13) = \frac{5(244140625) 2}{5} = 1220703125$

$f(14) = \frac{5(1220703125) 2}{5} = 6103515625$

$f(15) = \frac{5(6103515625) 2}{5} = 30517578125$

$f(16) = \frac{5(30517578125) 2}{5} = 152587890625$

$f(17) = \frac{5(152587890625) 2}{5} = 762939453125$

$f(18) = \frac{5(762939453125) 2}{5} = 3814697265625$

$f(19) = \frac{5(3814697265625) 2}{5} = 19073486328125$

$f(20) = \frac{5(19073486328125) 2}{5} = 95367431640625$

$f(21) = \frac{5(95367431640625) 2}{5} = 476837658203125$

$f(22) = \frac{5(476837658203125) 2}{5} = 2384188291015625$

$f(23) = \frac{5(2384188291015625) 2}{5} = 11920941455078125$

$f(24) = \frac{5(11920941455078125) 2}{5} = 59604607275390625$

$f(25) = \frac{5(59604607275390625) 2}{5} = 298023036376953125$

$f(26) = \frac{5(298023036376953125) 2}{5} = 1490115181884765625$

$f(27) = \frac{5(1490115181884765625) 2}{5} = 7450575919313828125$

$f(28) = \frac{5(7450575919313828125) 2}{5} = 37252879596569140625$

$f(29) = \frac{5(37252879596569140625) 2}{5} = 186264397982845703125$

$f(30) = \frac{5(186264397982845703125) 2}{5} = 9323221989142278125$

$f(31) = \frac{5(9323221989142278125) 2}{5} = 46616109945611390625$

$f(32) = \frac{5(46616109945611390625) 2}{5} = 233080549728056953125$

$f(33) = \frac{5(233080549728056953125) 2}{5} = 1165402748640284765625$

$f(34) = \frac{5(1165402748640284765625) 2}{5} = 58270113843214123828125$

$f(35) = \frac{5(58270113843214123828125) 2}{5} = 291350569216070619140625$

$f(36) = \frac{5(291350569216070619140625) 2}{5} = 1456752846080353095703125$

$f(37) = \frac{5(1456752846080353095703125) 2}{5} = 72837514230417554885515625$

$f(38) = \frac{5(72837514230417554885515625) 2}{5} = 364187571152087774427578125$

$f(39) = \frac{5(364187571152087774427578125) 2}{5} = 1820937855760438872137890625$

$f(40) = \frac{5(1820937855760438872137890625) 2}{5} = 9104699278802194360799453125$

$f(41) = \frac{5(9104699278802194360799453125) 2}{5} = 45523496394010971803997265625$

$f(42) = \frac{5(45523496394010971803997265625) 2}{5} = 227617481970054859019986328125$

$f(43) = \frac{5(227617481970054859019986328125) 2}{5} = 1138087409850274295099921640625$

$f(44) = \frac{5(1138087409850274295099921640625) 2}{5} = 56804370492513614754999608203125$

$f(45) = \frac{5(56804370492513614754999608203125) 2}{5} = 2840218524625680732749980410625$

$f(46) = \frac{5(2840218524625680732749980410625) 2}{5} = 1420109262312840366374990203125$

$f(47) = \frac{5(1420109262312840366374990203125) 2}{5} = 71005263011542018318749901015625$

$f(48) = \frac{5(71005263011542018318749901015625) 2}{5} = 355026315057710091593749505078125$

$f(49) = \frac{5(355026315057710091593