Seleccione La Respuesta Correcta.¿Cuántas Soluciones Existen Para ∣ 1 2 X + 1 ∣ = 5 \left|\frac{1}{2} X+1\right|=5 ​ 2 1 ​ X + 1 ​ = 5 ?A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Resolviendo la Inecuación: ¿Cuántas Soluciones Existem para $\left|\frac{1}{2} x+1\right|=5$?

Introducción

En este artículo, exploraremos la resolución de la inecuación $\left|\frac{1}{2} x+1\right|=5$ y determinaremos cuántas soluciones existen. La inecuación involucra la expresión absoluta, lo que significa que debemos considerar tanto la solución positiva como la negativa. Para abordar este problema, necesitamos comprender las propiedades de la expresión absoluta y cómo se relacionan con las soluciones de la inecuación.

Propiedades de la Expresión Absoluta

La expresión absoluta de un número $a$ se denota por $|a|$ y se define como:

$$|a| = \begin{cases} a, & \text{si } a \geq 0 \\ -a, & \text{si } a < 0 \end{cases}$$

En otras palabras, la expresión absoluta de un número es el valor absoluto de ese número. Por ejemplo, $|3| = 3$ y $|-4| = 4$.

Resolviendo la Inecuación

Ahora, volvamos a la inecuación original: $\left|\frac{1}{2} x+1\right|=5$. Para resolver esta inecuación, debemos considerar dos casos:

Caso 1: $\frac{1}{2} x+1 \geq 0$

En este caso, la expresión absoluta se puede simplificar a:

$$\left|\frac{1}{2} x+1\right| = \frac{1}{2} x+1$$

Ahora, podemos plantear la inecuación como:

$$\frac{1}{2} x+1 = 5$$

Restando 1 de ambos lados, obtenemos:

$$\frac{1}{2} x = 4$$

Multiplicando ambos lados por 2, obtenemos:

$$x = 8$$

Caso 2: $\frac{1}{2} x+1 < 0$

En este caso, la expresión absoluta se puede simplificar a:

$$\left|\frac{1}{2} x+1\right| = -\left(\frac{1}{2} x+1\right)$$

Ahora, podemos plantear la inecuación como:

$$-\left(\frac{1}{2} x+1\right) = 5$$

Restando 1 de ambos lados, obtenemos:

$$-\frac{1}{2} x = 6$$

Multiplicando ambos lados por -2, obtenemos:

$$x = -12$$

Análisis de los Resultados

En el Caso 1, encontramos que la solución de la inecuación es $x = 8$. En el Caso 2, encontramos que la solución de la inecuación es $x = -12$.

Conclusión

En conclusión, la inecuación $\left|\frac{1}{2} x+1\right|=5$ tiene dos soluciones: $x = 8$ y $x = -12$. Por lo tanto, la respuesta correcta es C. 2.

Preguntas Frecuentes

• ¿Por qué la expresión absoluta se puede simplificar en los dos casos?
• ¿Por qué la solución de la inecuación es diferente en los dos casos?
• ¿Cuál es la importancia de considerar la expresión absoluta en la resolución de la inecuación?

Respuestas

• La expresión absoluta se puede simplificar en los dos casos porque la inecuación involucra la expresión absoluta, lo que significa que debemos considerar tanto la solución positiva como la negativa.
• La solución de la inecuación es diferente en los dos casos porque la expresión absoluta se puede simplificar de manera diferente en cada caso.
• La importancia de considerar la expresión absoluta en la resolución de la inecuación es que nos permite encontrar todas las soluciones de la inecuación, incluyendo las soluciones negativas.
  Preguntas y Respuestas: Inecuaciones con Expresiones Absolutas

¿Qué es una inecuación con expresión absoluta?

Una inecuación con expresión absoluta es una inecuación que involucra la expresión absoluta de una variable o una expresión. La expresión absoluta de un número $a$ se denota por $|a|$ y se define como:

$$|a| = \begin{cases} a, & \text{si } a \geq 0 \\ -a, & \text{si } a < 0 \end{cases}$$

¿Por qué es importante considerar la expresión absoluta en la resolución de inecuaciones?

Es importante considerar la expresión absoluta en la resolución de inecuaciones porque nos permite encontrar todas las soluciones de la inecuación, incluyendo las soluciones negativas. La expresión absoluta se puede simplificar de manera diferente en cada caso, lo que significa que debemos considerar tanto la solución positiva como la negativa.

¿Cómo se resuelve una inecuación con expresión absoluta?

Para resolver una inecuación con expresión absoluta, debemos considerar dos casos:

1. El caso en el que la expresión absoluta es positiva.
2. El caso en el que la expresión absoluta es negativa.

En cada caso, debemos simplificar la expresión absoluta y plantear la inecuación como una ecuación. Luego, podemos resolver la ecuación para encontrar la solución.

¿Cuál es la diferencia entre una inecuación con expresión absoluta y una inecuación sin expresión absoluta?

La diferencia principal entre una inecuación con expresión absoluta y una inecuación sin expresión absoluta es que la inecuación con expresión absoluta involucra la expresión absoluta de una variable o una expresión. Esto significa que debemos considerar tanto la solución positiva como la negativa, lo que puede hacer que la resolución de la inecuación sea más compleja.

¿Cuál es la importancia de la expresión absoluta en la resolución de inecuaciones?

La expresión absoluta es importante en la resolución de inecuaciones porque nos permite encontrar todas las soluciones de la inecuación, incluyendo las soluciones negativas. La expresión absoluta se puede simplificar de manera diferente en cada caso, lo que significa que debemos considerar tanto la solución positiva como la negativa.

¿Cómo se puede aplicar la expresión absoluta en la resolución de inecuaciones en la vida real?

La expresión absoluta se puede aplicar en la resolución de inecuaciones en la vida real en muchos contextos, como:

• En la física, la expresión absoluta se puede utilizar para describir la velocidad de un objeto en movimiento.
• En la economía, la expresión absoluta se puede utilizar para describir la cantidad de dinero que se gasta en una empresa.
• En la medicina, la expresión absoluta se puede utilizar para describir la cantidad de medicamentos que se administran a un paciente.

¿Qué consejos puedo dar para resolver inecuaciones con expresión absoluta?

Aquí hay algunos consejos que puedo dar para resolver inecuaciones con expresión absoluta:

• Asegúrese de considerar tanto la solución positiva como la negativa.
• Simplifique la expresión absoluta en cada caso.
• Plantee la inecuación como una ecuación y resuélvala.
• Verifique la solución para asegurarse de que sea correcta.

¿Qué recursos puedo utilizar para aprender más sobre inecuaciones con expresión absoluta?

Aquí hay algunos recursos que puedes utilizar para aprender más sobre inecuaciones con expresión absoluta:

• Libros de texto de matemáticas.
• Recursos en línea, como videos y tutoriales.
• Clases de matemáticas en línea.
• Tutoriales de matemáticas en persona.

¿Qué preguntas tengo sobre inecuaciones con expresión absoluta?

Si tienes alguna pregunta sobre inecuaciones con expresión absoluta, no dudes en preguntar. Estoy aquí para ayudarte a entender mejor este tema.