Решите Неравенства С Модулем. |(x 2-5x+4)/(x 2-4)| <= 7 |(1/x)+0,5| <= 1,5

В алгебре неравенства с модулем являются важным типом задач, которые требуют умения решать абсолютные значения. В этом разделе мы рассмотрим два примера неравенств с модулем и покажем, как их решить.

1. |(x^2-5x+4)/(x2-4)| <= 7

Неравенство с модулем

Неравенство с модулем имеет вид |f(x)| <= a, где f(x) — функция, а a — константа. В этом случае мы имеем |(x^2-5x+4)/(x2-4)| <= 7.

Шаг 1: Найдите знак функции

Чтобы решить неравенство, нам нужно найти знак функции f(x) = (x^2-5x+4)/(x2-4). Мы можем сделать это, найдя знак числителя и знаменателя.

Числитель: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1)

Знаменатель: x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

Шаг 2: Найдите интервалы, где функция положительна и отрицательна

Функция положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Функция отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.

Положительная область: (x - 4)(x - 1) > 0 и (x + 2)(x - 2) > 0

Отрицательная область: (x - 4)(x - 1) < 0 или (x + 2)(x - 2) < 0

Шаг 3: Найдите интервалы, где функция не определена

Функция не определена, когда знаменатель равен 0. Это происходит, когда x = -2 или x = 2.

Шаг 4: Найдите интервалы, где неравенство выполняется

Неравенство выполняется, когда функция меньше или равна 7. Мы можем найти интервалы, где неравенство выполняется, используя график функции.

Результат: Неравенство выполняется, когда x belongs to (-2, 1) U (4, 7).

2. |(1/x)+0,5| <= 1,5

Неравенство с модулем

Неравенство с модулем имеет вид |f(x)| <= a, где f(x) — функция, а a — константа. В этом случае мы имеем |(1/x)+0,5| <= 1,5.

Шаг 1: Найдите знак функции

Чтобы решить неравенство, нам нужно найти знак функции f(x) = (1/x) + 0,5. Мы можем сделать это, найдя знак числителя и знаменателя.

Числитель: 1/x

Знаменатель: 1

Шаг 2: Найдите интервалы, где функция положительна и отрицательна

Функция положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Функция отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют противоположные знаки.

Положительная область: 1/x > 0

Отрицательная область: 1/x < 0

Шаг 3: Найдите интервалы, где функция не определена

Функция не определена, когда знаменатель равен 0. Это происходит, когда x = 0.

Шаг 4: Найдите интервалы, где неравенство выполняется

Неравенство выполняется, когда функция меньше или равна 1,5. Мы можем найти интервалы, где неравенство выполняется, используя график функции.

Результат: Неравенство выполняется, когда x belongs to (0, 1/3) U (3, ∞).

Вывод

В предыдущем разделе мы рассмотрели два примера неравенств с модулем и показали, как их решить. В этом разделе мы ответим на часто задаваемые вопросы и предоставим дополнительные примеры, чтобы помочь вам лучше понять концепцию неравенств с модулем.

Вопросы и ответы

1. Что такое неравенство с модулем?

Ответ: Неравенство с модулем имеет вид |f(x)| <= a, где f(x) — функция, а a — константа. Это означает, что абсолютное значение функции f(x) должно быть меньше или равно константе a.

2. Как найти знак функции в неравенстве с модулем?

Ответ: Чтобы найти знак функции, нам нужно найти знак числителя и знаменателя. Если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, функция положительна. Если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки, функция отрицательна.

3. Как найти интервалы, где функция положительна и отрицательна?

Ответ: Чтобы найти интервалы, где функция положительна и отрицательна, нам нужно найти точки, где функция меняет знак. Это можно сделать, найдя точки, где числитель и знаменатель имеют одинаковый знак или противоположные знаки.

4. Как найти интервалы, где функция не определена?

Ответ: Функция не определена, когда знаменатель равен 0. Это происходит, когда x = -2 или x = 2 в первом примере, и когда x = 0 во втором примере.

5. Как найти интервалы, где неравенство выполняется?

Ответ: Неравенство выполняется, когда функция меньше или равна константе a. Мы можем найти интервалы, где неравенство выполняется, используя график функции.

Дополнительные примеры

Пример 1: |(x^2-3x-4)/(x2-9)| <= 2

Шаг 1: Найдите знак функции

Числитель: x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)

Знаменатель: x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

Шаг 2: Найдите интервалы, где функция положительна и отрицательна

Положительная область: (x - 4)(x + 1) > 0 и (x + 3)(x - 3) > 0

Отрицательная область: (x - 4)(x + 1) < 0 или (x + 3)(x - 3) < 0

Шаг 3: Найдите интервалы, где функция не определена

Функция не определена, когда знаменатель равен 0. Это происходит, когда x = -3 или x = 3.

Шаг 4: Найдите интервалы, где неравенство выполняется

Неравенство выполняется, когда функция меньше или равна 2. Мы можем найти интервалы, где неравенство выполняется, используя график функции.

Результат: Неравенство выполняется, когда x belongs to (-3, -1) U (1, 3).

Пример 2: |(1/x^2)+0,5| <= 1,5

Шаг 1: Найдите знак функции

Числитель: 1/x^2

Знаменатель: 1

Шаг 2: Найдите интервалы, где функция положительна и отрицательна

Положительная область: 1/x^2 > 0

Отрицательная область: 1/x^2 < 0

Шаг 3: Найдите интервалы, где функция не определена

Функция не определена, когда знаменатель равен 0. Это происходит, когда x = 0.

Шаг 4: Найдите интервалы, где неравенство выполняется

Неравенство выполняется, когда функция меньше или равна 1,5. Мы можем найти интервалы, где неравенство выполняется, используя график функции.

Результат: Неравенство выполняется, когда x belongs to (0, 1/√2) U (√2, ∞).

Вывод

В этом разделе мы ответили на часто задаваемые вопросы и предоставили дополнительные примеры, чтобы помочь вам лучше понять концепцию неравенств с модулем. Мы научились находить знак функции, интервалы, где функция положительна и отрицательна, интервалы, где функция не определена, и интервалы, где неравенство выполняется.