Relaciona Cada Sistema De Ecuaciones Con Su Correspondiente Gráfica. Luego, Resuélvelo Aplicando El Método De Reducción:a. \[$\left\{\begin{array}{l}2x + 5y = 1 \\ 6x + 7y = 3\end{array}\right.\$\]b. \[$\left\{\begin{array}{l}3x + 3y = 10
Relaciona cada sistema de ecuaciones con su correspondiente gráfica y resuélvelo aplicando el método de reducción
Introducción
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que involucran variables desconocidas. La relación entre un sistema de ecuaciones y su correspondiente gráfica es fundamental para comprender y resolver problemas en álgebra y geometría. En este artículo, exploraremos cómo relacionar cada sistema de ecuaciones con su correspondiente gráfica y luego resolverlo aplicando el método de reducción.
Sistema de ecuaciones a.
El primer sistema de ecuaciones es:
{\left{\begin{array}{l}2x + 5y = 1 \ 6x + 7y = 3\end{array}\right.$}$
Gráfica del sistema de ecuaciones a.
Para graficar este sistema de ecuaciones, podemos usar la técnica de sustitución. Primero, resolvemos la primera ecuación para y:
${2x + 5y = 1 \Rightarrow y = \frac{1 - 2x}{5}\$}
Ahora, podemos sustituir esta expresión para y en la segunda ecuación:
${6x + 7\left(\frac{1 - 2x}{5}\right) = 3 \Rightarrow 30x + 7 - 14x = 15 \Rightarrow 16x = 8 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\$}
Ahora que tenemos el valor de x, podemos encontrar el valor de y sustituyendo x en la expresión para y:
{y = \frac{1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)}{5} = \frac{1 - 1}{5} = 0$}$
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones a es (x, y) = (1/2, 0).
Resolución del sistema de ecuaciones a mediante el método de reducción
Para resolver el sistema de ecuaciones a mediante el método de reducción, podemos usar la técnica de eliminación. Primero, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2 para que los coeficientes de x en ambas ecuaciones sean iguales:
${6x + 15y = 3 \Rightarrow 12x + 14y = 6\$}
Ahora, podemos restar la primera ecuación de la segunda ecuación para eliminar la variable x:
{(12x + 14y) - (6x + 15y) = 6 - 3 \Rightarrow 6x - y = 3$}$
Ahora, podemos resolver la ecuación resultante para y:
{-y = 3 - 6x \Rightarrow y = 6x - 3$}$
Ahora que tenemos la expresión para y, podemos sustituir esta expresión en la primera ecuación para resolver x:
${2x + 5(6x - 3) = 1 \Rightarrow 2x + 30x - 15 = 1 \Rightarrow 32x = 16 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\$}
Ahora que tenemos el valor de x, podemos encontrar el valor de y sustituyendo x en la expresión para y:
{y = 6\left(\frac{1}{2}\right) - 3 = 3 - 3 = 0$}$
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones a es (x, y) = (1/2, 0).
Sistema de ecuaciones b.
El segundo sistema de ecuaciones es:
{\left{\begin{array}{l}3x + 3y = 10 \ 2x + 4y = 6\end{array}\right.$}$
Gráfica del sistema de ecuaciones b.
Para graficar este sistema de ecuaciones, podemos usar la técnica de sustitución. Primero, resolvemos la primera ecuación para y:
${3x + 3y = 10 \Rightarrow y = \frac{10 - 3x}{3}\$}
Ahora, podemos sustituir esta expresión para y en la segunda ecuación:
${2x + 4\left(\frac{10 - 3x}{3}\right) = 6 \Rightarrow 6x + 20 - 12x = 18 \Rightarrow -6x = -2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\$}
Ahora que tenemos el valor de x, podemos encontrar el valor de y sustituyendo x en la expresión para y:
{y = \frac{10 - 3\left(\frac{1}{3}\right)}{3} = \frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$}$
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones b es (x, y) = (1/3, 3).
Resolución del sistema de ecuaciones b mediante el método de reducción
Para resolver el sistema de ecuaciones b mediante el método de reducción, podemos usar la técnica de eliminación. Primero, multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3 para que los coeficientes de x en ambas ecuaciones sean iguales:
${6x + 6y = 20 \Rightarrow 6x + 12y = 18\$}
Ahora, podemos restar la primera ecuación de la segunda ecuación para eliminar la variable x:
{(6x + 12y) - (6x + 6y) = 18 - 20 \Rightarrow 6y = -2$}$
Ahora, podemos resolver la ecuación resultante para y:
${6y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\$}
Ahora que tenemos la expresión para y, podemos sustituir esta expresión en la primera ecuación para resolver x:
${3x + 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 10 \Rightarrow 3x - 1 = 10 \Rightarrow 3x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{3}\$}
Ahora que tenemos el valor de x, podemos encontrar el valor de y sustituyendo x en la expresión para y:
{y = -\frac{1}{3}$}$
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones b es (x, y) = (11/3, -1/3).
Conclusión
En este artículo, exploramos cómo relacionar cada sistema de ecuaciones con su correspondiente gráfica y luego resolverlo aplicando el método de reducción. Vimos que el método de reducción es una técnica efectiva para resolver sistemas de ecuaciones, ya que permite eliminar variables y encontrar soluciones de manera sencilla. Esperamos que este artículo haya sido útil para los lectores que buscan comprender y resolver problemas en álgebra y geometría.
Preguntas y respuestas sobre sistemas de ecuaciones
¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que involucran variables desconocidas. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:
{\left{\begin{array}{l}2x + 5y = 1 \ 6x + 7y = 3\end{array}\right.$}$
es un sistema de ecuaciones que involucra las variables x e y.
¿Cómo se relaciona un sistema de ecuaciones con su correspondiente gráfica?
Un sistema de ecuaciones se relaciona con su correspondiente gráfica a través de la técnica de sustitución. Primero, se resuelve una de las ecuaciones para una de las variables, y luego se sustituye esta expresión en la otra ecuación para resolver la otra variable. Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:
{\left{\begin{array}{l}2x + 5y = 1 \ 6x + 7y = 3\end{array}\right.$}$
se puede resolver la primera ecuación para y:
${2x + 5y = 1 \Rightarrow y = \frac{1 - 2x}{5}\$}
y luego se sustituye esta expresión en la segunda ecuación para resolver x:
${6x + 7\left(\frac{1 - 2x}{5}\right) = 3 \Rightarrow 30x + 7 - 14x = 15 \Rightarrow 16x = 8 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\$}
¿Cuál es el método de reducción?
El método de reducción es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones que involucra eliminar variables y encontrar soluciones de manera sencilla. Se puede realizar mediante la técnica de eliminación, que consiste en restar una ecuación de otra para eliminar una variable. Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:
{\left{\begin{array}{l}3x + 3y = 10 \ 2x + 4y = 6\end{array}\right.$}$
se pueden multiplicar las ecuaciones por números adecuados para que los coeficientes de x en ambas ecuaciones sean iguales, y luego restar una ecuación de la otra para eliminar la variable x:
${6x + 12y = 18 \Rightarrow 6y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\$}
¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones mediante el método de reducción?
Para resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de reducción, se siguen los siguientes pasos:
- Multiplicar las ecuaciones por números adecuados para que los coeficientes de x en ambas ecuaciones sean iguales.
- Restar una ecuación de la otra para eliminar la variable x.
- Resolver la ecuación resultante para la variable y.
- Sustituir la expresión para y en una de las ecuaciones originales para resolver la variable x.
¿Cuáles son las ventajas del método de reducción?
El método de reducción tiene varias ventajas, entre ellas:
- Es una técnica efectiva para resolver sistemas de ecuaciones.
- Permite eliminar variables y encontrar soluciones de manera sencilla.
- Es fácil de aplicar y entender.
¿Cuáles son las desventajas del método de reducción?
El método de reducción tiene algunas desventajas, entre ellas:
- Requiere que las ecuaciones sean lineales.
- No es adecuado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
- Puede ser difícil de aplicar en casos complejos.
¿Cuándo se debe utilizar el método de reducción?
El método de reducción se debe utilizar cuando se trata de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es una técnica efectiva y sencilla para encontrar soluciones en estos casos. Sin embargo, no es adecuado para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.