Podaj Definicję Funkcji Malejącej, A Następnie Korzystając Z Definicji Udowodnij, Że Funkcja Określona Wzorem F(x) = Sqrt(5 - 3x) Jest Funkcją Malejącą. Bardzo Proszę O Rozwiązanie I Wytłumaczenie

Funkcje Malejące - Definicja i Właściwości

W dziedzinie matematyki, funkcje malejące odgrywają ważną rolę w opisie zależności pomiędzy zmiennymi. W tym artykule, omówimy definicję funkcji malejącej oraz udowodnimy, że funkcja określona wzorem f(x) = sqrt(5 - 3x) jest funkcją malejącą.

Definicja Funkcji Malejącej

Funkcja malejąca to funkcja, która spełnia następujące warunki:

• Funkcja jest definiowana na pewnym przedziale wartości x.
• Dla każdego x w tym przedziale, wartość f(x) jest mniejsza lub równa wartości f(x + h), gdzie h jest dowolną wartością w przedziale.

Innymi słowy, funkcja malejąca to funkcja, która zawsze zmniejsza się wraz z wzrostem argumentu.

Udowodnienie, że f(x) = sqrt(5 - 3x) jest funkcją malejącą

Aby udowodnić, że f(x) = sqrt(5 - 3x) jest funkcją malejącą, musimy sprawdzić, czy spełnia ona warunki definicji funkcji malejącej.

Pierwszy warunek jest spełniony, ponieważ funkcja f(x) = sqrt(5 - 3x) jest definiowana na przedziale wartości x, który jest mniejszy lub równy 5/3.

Teraz, musimy sprawdzić, czy dla każdego x w tym przedziale, wartość f(x) jest mniejsza lub równa wartości f(x + h), gdzie h jest dowolną wartością w przedziale.

Zastąpmy x + h przez x, aby uzyskać:

f(x + h) = sqrt(5 - 3(x + h))

Teraz, możemy uprościć ten wyraz, korzystając z własności pierwiastka:

f(x + h) = sqrt(5 - 3x - 3h)

Teraz, możemy porównać wartości f(x) i f(x + h):

f(x) = sqrt(5 - 3x) f(x + h) = sqrt(5 - 3x - 3h)

Aby sprawdzić, czy f(x) jest mniejsze lub równe f(x + h), możemy porównać wyrazy pod pierwiastkiem:

5 - 3x ≤ 5 - 3x - 3h

Teraz, możemy uprościć ten wyraz, aby uzyskać:

0 ≤ 3h

Teraz, możemy zobaczyć, że warunek jest spełniony, ponieważ 3h jest zawsze nieujemne, gdy h jest dowolną wartością w przedziale.

Zatem, funkcja f(x) = sqrt(5 - 3x) jest funkcją malejącą, ponieważ spełnia warunki definicji funkcji malejącej.

Wnioski

W tym artykule, omówiliśmy definicję funkcji malejącej oraz udowodniliśmy, że funkcja określona wzorem f(x) = sqrt(5 - 3x) jest funkcją malejącą. Funkcje malejące odgrywają ważną rolę w opisie zależności pomiędzy zmiennymi i są często spotykane w różnych dziedzinach matematyki.

Zadania Dodatkowe

1. Udowodnij, że funkcja f(x) = 2x - 3 jest funkcją malejącą.
2. Udowodnij, że funkcja f(x) = x^2 + 2 jest funkcją nie malejącą.
3. Znajdź funkcję malejącą, która spełnia warunek f(0) = 2.

Źródła

• "Matematyka" - podręcznik szkolny
• "Funkcje" - artykuł w Wikipedii
• "Funkcje malejące" - artykuł w Wikipedii