Para Determinar La Altura De Un Poste, Cristian Se Ha Alejado 7 Metros De Su Base Y Ha Medido El Ángulo Que Forma La Visual Al Punto Mas Alto Del Poste, Obteniendo Un Valor De 40°. Si Cristian Ignora Su Propia Altura, ¿Cuál Es La Altura Del Poste? a) 7
Introducción
La trigonometría es una rama de la matemática que se enfoca en el estudio de las relaciones entre los lados y ángulos de triángulos. En este artículo, exploraremos cómo utilizar la trigonometría para determinar la altura de un poste, utilizando un método que implica medir el ángulo que forma la visual al punto más alto del poste desde una distancia conocida.
El Problema
Cristian se ha alejado 7 metros de la base de un poste y ha medido el ángulo que forma la visual al punto más alto del poste, obteniendo un valor de 40°. Si Cristian ignora su propia altura, ¿cuál es la altura del poste?
La Solución
Para resolver este problema, podemos utilizar la ley de los senos, que establece que el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al ratio de la longitud del lado opuesto al ángulo dividido por la longitud del lado hipotenusa.
En este caso, el ángulo es de 40°, y la longitud del lado opuesto al ángulo es la altura del poste (que desconocemos). La longitud del lado adyacente al ángulo es la distancia que Cristian se ha alejado de la base del poste, que es de 7 metros.
La Fórmula
La fórmula que utilizaremos es:
sen(40°) = (altura del poste) / (7 + altura del poste)
La Resolución
Para resolver la altura del poste, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por (7 + altura del poste), lo que nos da:
sen(40°) * (7 + altura del poste) = altura del poste
Luego, podemos expandir el lado izquierdo de la ecuación:
sen(40°) * 7 + sen(40°) * altura del poste = altura del poste
Ahora, podemos restar sen(40°) * altura del poste de ambos lados de la ecuación:
sen(40°) * 7 = altura del poste - sen(40°) * altura del poste
Luego, podemos factorizar sen(40°) de ambos lados de la ecuación:
sen(40°) * 7 = (1 - sen(40°)) * altura del poste
Finalmente, podemos dividir ambos lados de la ecuación por (1 - sen(40°)):
altura del poste = sen(40°) * 7 / (1 - sen(40°))
El Cálculo
Ahora que tenemos la fórmula, podemos calcular la altura del poste utilizando un calculadora o un software de cálculo.
sen(40°) = 0,643 (1 - sen(40°)) = 0,357 altura del poste = 0,643 * 7 / 0,357 = 14,11
La Conclusión
La altura del poste es de aproximadamente 14,11 metros.
Discusión
Este problema es un ejemplo clásico de cómo utilizar la trigonometría para resolver problemas de geometría. La ley de los senos es una herramienta poderosa para resolver problemas que involucran triángulos rectángulos y ángulos.
En este caso, Cristian ignora su propia altura, lo que hace que el problema sea más desafiante. Sin embargo, utilizando la ley de los senos y la fórmula que desarrollamos, podemos resolver la altura del poste con precisión.
Referencias
- "Trigonometría" de Michael Corral. Editorial Reverté, 2013.
- "Geometría" de James R. Smart. Editorial McGraw-Hill, 2012.
Palabras Clave
- Trigonometría
- Ley de los senos
- Ángulo
- Lado opuesto
- Lado adyacente
- Lado hipotenusa
- Altura del poste
- Distancia
- Cálculo
- Geometría
Preguntas y Respuestas sobre la Altura de un Poste =====================================================
¿Qué es la ley de los senos?
La ley de los senos es una fórmula matemática que relaciona el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo con la longitud de los lados del triángulo. La fórmula es:
sen(ángulo) = (lado opuesto) / (lado hipotenusa)
¿Cómo se utiliza la ley de los senos para determinar la altura de un poste?
Para determinar la altura de un poste, se utiliza la ley de los senos de la siguiente manera:
- Se mide el ángulo que forma la visual al punto más alto del poste desde una distancia conocida.
- Se utiliza la ley de los senos para relacionar el seno del ángulo con la longitud de los lados del triángulo.
- Se resuelve la ecuación para encontrar la altura del poste.
¿Qué es un triángulo rectángulo?
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto (90°). Los lados del triángulo se dividen en dos categorías: el lado opuesto al ángulo recto y el lado adyacente al ángulo recto.
¿Qué es el lado opuesto al ángulo?
El lado opuesto al ángulo es el lado del triángulo que se encuentra directamente opuesto al ángulo en cuestión. En el caso del poste, el lado opuesto al ángulo es la altura del poste.
¿Qué es el lado adyacente al ángulo?
El lado adyacente al ángulo es el lado del triángulo que se encuentra directamente al lado del ángulo en cuestión. En el caso del poste, el lado adyacente al ángulo es la distancia que se ha alejado de la base del poste.
¿Qué es el lado hipotenusa?
El lado hipotenusa es el lado del triángulo que se encuentra directamente opuesto al ángulo recto. En el caso del poste, el lado hipotenusa es la distancia que se ha alejado de la base del poste más la altura del poste.
¿Cómo se calcula la altura del poste?
La altura del poste se calcula utilizando la ley de los senos y la fórmula:
sen(ángulo) = (lado opuesto) / (lado hipotenusa)
Se resuelve la ecuación para encontrar la altura del poste.
¿Qué es la fórmula para determinar la altura del poste?
La fórmula para determinar la altura del poste es:
altura del poste = sen(ángulo) * (distancia + altura del poste) / (1 - sen(ángulo))
¿Qué es la distancia que se ha alejado de la base del poste?
La distancia que se ha alejado de la base del poste es la distancia que se ha medido desde la base del poste hasta el punto donde se mide el ángulo.
¿Qué es el ángulo que se mide?
El ángulo que se mide es el ángulo que forma la visual al punto más alto del poste desde la distancia que se ha alejado de la base del poste.
¿Qué es la altura del poste?
La altura del poste es la distancia vertical desde la base del poste hasta el punto más alto del poste.
¿Cómo se utiliza la trigonometría para determinar la altura de un poste?
La trigonometría se utiliza para determinar la altura de un poste mediante la ley de los senos y la fórmula:
sen(ángulo) = (lado opuesto) / (lado hipotenusa)
Se resuelve la ecuación para encontrar la altura del poste.
¿Qué es la importancia de determinar la altura de un poste?
La importancia de determinar la altura de un poste radica en que permite calcular la distancia vertical desde la base del poste hasta el punto más alto del poste, lo que es útil en diversas aplicaciones, como la construcción de edificios, la medición de alturas de objetos y la determinación de distancias.