Обчислити: $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\sqrt{35}$.

by ADMIN 68 views

Вступ

У цій статті ми розглянемо завдання обчислення виразу 7+57−5−35\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\sqrt{35}. Цей вираз містить радикали, які необхідно поєднати та упростити, щоб отримати кінцевий результат.

Підготовка до обчислень

Перш за все, необхідно підготовити вираз до обчислень. Для цього ми можемо почати з заміни 7\sqrt{7} на xx і 5\sqrt{5} на yy. Це дозволить нам працювати з цілими числами та зробити обчислення більш простими.

Упрощення виразу

Після заміни 7\sqrt{7} на xx і 5\sqrt{5} на yy, вираз стає:

x+yx−y−35\frac{x+y}{x-y}-\sqrt{35}

Тепер ми можемо спробувати упростити вираз. Для цього ми можемо почати з використання властивості дробу, яка стверджує, що a+ba−b=aa−b+ba−b\frac{a+b}{a-b}=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{a-b}.

Використання властивості дробу

Застосувавши властивість дробу, ми отримуємо:

x+yx−y=xx−y+yx−y\frac{x+y}{x-y}=\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x-y}

Тепер ми можемо спробувати упростити кожен із цих двох дробів окремо.

Упрощення першого дробу

Перший дроб $ \frac{x}{x-y}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

xx−y=xx−y⋅x+yx+y=x(x+y)(x−y)(x+y)\frac{x}{x-y}=\frac{x}{x-y}\cdot\frac{x+y}{x+y}=\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник та знаменник окремо.

Упрощення чисельника та знаменника

Чисельник x(x+y)x(x+y) можна упростити, використовуючи властивість розподілу:

x(x+y)=x2+xyx(x+y)=x^2+xy

Знаменник (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) можна упростити, використовуючи властивість розподілу знову:

(x−y)(x+y)=x2−y2(x-y)(x+y)=x^2-y^2

Тепер ми можемо спробувати упростити перший дроб.

Упрощення першого дробу

Перший дроб $ \frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

x(x+y)(x−y)(x+y)=x2+xyx2−y2\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^2+xy}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити другий дроб.

Упрощення другого дробу

Другий дроб $ \frac{y}{x-y}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

yx−y=yx−y⋅x+yx+y=y(x+y)(x−y)(x+y)\frac{y}{x-y}=\frac{y}{x-y}\cdot\frac{x+y}{x+y}=\frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник та знаменник окремо.

Упрощення чисельника та знаменника

Чисельник y(x+y)y(x+y) можна упростити, використовуючи властивість розподілу:

y(x+y)=xy+y2y(x+y)=xy+y^2

Знаменник (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) можна упростити, використовуючи властивість розподілу знову:

(x−y)(x+y)=x2−y2(x-y)(x+y)=x^2-y^2

Тепер ми можемо спробувати упростити другий дроб.

Упрощення другого дробу

Другий дроб $ \frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

y(x+y)(x−y)(x+y)=xy+y2x2−y2\frac{y(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{xy+y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати поєднати перший та другий дроби.

Під'єднання першого та другого дробів

Перший дроб $ \frac{x2+xy}{x2-y^2}$ можна поєднати з другим дробом $ \frac{xy+y2}{x2-y^2}$, використовуючи властивість дробу знову:

x2+xyx2−y2+xy+y2x2−y2=x2+xy+xy+y2x2−y2\frac{x^2+xy}{x^2-y^2}+\frac{xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{x^2+xy+xy+y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Упрощення чисельника

Чисельник x2+xy+xy+y2x^2+xy+xy+y^2 можна упростити, використовуючи властивість розподілу:

x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2

Тепер ми можемо спробувати поєднати перший та другий дроби.

Під'єднання першого та другого дробів

Перший дроб $ \frac{x2+2xy+y2}{x2-y2}$ можна поєднати з другим дробом $ \sqrt{35}$, використовуючи властивість дробу знову:

x2+2xy+y2x2−y2−35=x2+2xy+y2x2−y2−35(x2−y2)x2−y2\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}-\sqrt{35}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}-\frac{\sqrt{35}(x^2-y^2)}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Упрощення чисельника

Чисельник x2+2xy+y2−35(x2−y2)x^2+2xy+y^2-\sqrt{35}(x^2-y^2) можна упростити, використовуючи властивість розподілу:

x2+2xy+y2−35(x2−y2)=x2+2xy+y2−35x2+35y2x^2+2xy+y^2-\sqrt{35}(x^2-y^2)=x^2+2xy+y^2-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2

Тепер ми можемо спробувати поєднати перший та другий дроби.

Під'єднання першого та другого дробів

Перший дроб $ \frac{x2+2xy+y2-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

x2+2xy+y2−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{x^2+2xy+y^2-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Упрощення чисельника

Чисельник (x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2 можна упростити, використовуючи властивість розподілу:

(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2=(x2+y2)+2xyx2+y2(x2+y2)−35x2+35y2(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2=(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2

Тепер ми можемо спробувати поєднати перший та другий дроби.

Під'єднання першого та другого дробів

Перший дроб $ \frac{(x2+y2)+2\frac{xy}{x2+y2}(x2+y2)-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

\frac{(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x<br/> # Обчислити: $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}-\sqrt{35}$: Вопросы и Ответы ## Вопрос 1: Як розпочати обчислення цього виразу? Ответ: Для початку необхідно підготовити вираз до обчислень. Для цього ми можемо почати з заміни $\sqrt{7}$ на $x$ і $\sqrt{5}$ на $y$. Це дозволить нам працювати з цілими числами та зробити обчислення більш простими. ## Вопрос 2: Як упростити перший дроб? Ответ: Перший дроб $ \frac{x+y}{x-y}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову: $\frac{x+y}{x-y}=\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x-y}

Тепер ми можемо спробувати упростити кожен із цих двох дробів окремо.

Вопрос 3: Як упростити перший дроб?

Ответ: Перший дроб $ \frac{x}{x-y}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

xx−y=xx−y⋅x+yx+y=x(x+y)(x−y)(x+y)\frac{x}{x-y}=\frac{x}{x-y}\cdot\frac{x+y}{x+y}=\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник та знаменник окремо.

Вопрос 4: Як упростити чисельник та знаменник?

Ответ: Чисельник x(x+y)x(x+y) можна упростити, використовуючи властивість розподілу:

x(x+y)=x2+xyx(x+y)=x^2+xy

Знаменник (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) можна упростити, використовуючи властивість розподілу знову:

(x−y)(x+y)=x2−y2(x-y)(x+y)=x^2-y^2

Тепер ми можемо спробувати упростити перший дроб.

Вопрос 5: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{x2+xy}{x2-y^2}$ можна поєднати з другим дробом $ \frac{xy+y2}{x2-y^2}$, використовуючи властивість дробу знову:

x2+xyx2−y2+xy+y2x2−y2=x2+xy+xy+y2x2−y2\frac{x^2+xy}{x^2-y^2}+\frac{xy+y^2}{x^2-y^2}=\frac{x^2+xy+xy+y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 6: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{x2+2xy+y2}{x2-y2}$ можна поєднати з другим дробом $ \sqrt{35}$, використовуючи властивість дробу знову:

x2+2xy+y2x2−y2−35=x2+2xy+y2x2−y2−35(x2−y2)x2−y2\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}-\sqrt{35}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}-\frac{\sqrt{35}(x^2-y^2)}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 7: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{x2+2xy+y2-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

x2+2xy+y2−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{x^2+2xy+y^2-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 8: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{(x2+y2)+2\frac{xy}{x2+y2}(x2+y2)-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

(x2+y2)+2xyx2+y2(x2+y2)−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 9: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{(x2+y2)(1+2\frac{xy}{x2+y2})-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)+2xyx2+y2(x2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 10: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{(x2+y2)+2\frac{xy}{x2+y2}(x2+y2)-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

(x2+y2)+2xyx2+y2(x2+y2)−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 11: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{(x2+y2)(1+2\frac{xy}{x2+y2})-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)+2xyx2+y2(x2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.

Вопрос 12: Як поєднати перший та другий дроби?

Ответ: Перший дроб $ \frac{(x2+y2)+2\frac{xy}{x2+y2}(x2+y2)-\sqrt{35}x2+\sqrt{35}y2}{x2-y2}$ можна упростити, використовуючи властивість дробу знову:

(x2+y2)+2xyx2+y2(x2+y2)−35x2+35y2x2−y2=(x2+y2)(1+2xyx2+y2)−35x2+35y2x2−y2\frac{(x^2+y^2)+2\frac{xy}{x^2+y^2}(x^2+y^2)-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}=\frac{(x^2+y^2)(1+2\frac{xy}{x^2+y^2})-\sqrt{35}x^2+\sqrt{35}y^2}{x^2-y^2}

Тепер ми можемо спробувати упростити чисельник окремо.