Na Reta A Seguir O Ponto A Indica O Valor Aproximado De 2 {\sqrt{2}} 2 ​ . 0 {0} 0 2,8 {\ 2{,}8} 2 , 8 5,6 {\ 5{,}6} 5 , 6 A {A} A Qual O Valor De A? Escolha 1 Resposta: Escolha 1 Resposta: (Escolha A) 0,7 {0{,}7} 0 , 7 A 0,7 {0{,}7} 0 , 7 (Escolha B) 1,4 {1{,}4} 1 , 4 B 1,4 {1{,}4} 1 , 4 (Escolha C)

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Aproximação da Raiz Quadrada de 2

A raiz quadrada de 2 é um conceito fundamental na matemática, representado pela notação 2{\sqrt{2}}. Ela é a medida da extensão de um lado de um quadrado cuja área é igual a 2. Embora seja um valor simples, a raiz quadrada de 2 não é um número racional, ou seja, não pode ser expressa como uma fração de números inteiros. Neste artigo, vamos explorar a aproximação da raiz quadrada de 2 e encontrar o valor aproximado de 2{\sqrt{2}}.

A raiz quadrada de 2 pode ser aproximada usando métodos de cálculo e algoritmos de aproximação. Uma das formas mais comuns de aproximar a raiz quadrada de 2 é usando a fórmula de Newton-Raphson. Essa fórmula é baseada na ideia de que a raiz quadrada de um número é a medida da extensão de um lado de um quadrado cuja área é igual ao número.

Fórmula de Newton-Raphson

A fórmula de Newton-Raphson para a raiz quadrada de 2 é dada por:

2=12(x+2x){\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( x + \frac{2}{x} \right)}

onde x{x} é uma aproximação inicial da raiz quadrada de 2.

Aproximação Inicial

Para começar a aproximar a raiz quadrada de 2, precisamos escolher uma aproximação inicial. Uma forma comum de escolher a aproximação inicial é usar o valor de 1, pois é um valor simples e fácil de trabalhar.

Iterações da Fórmula de Newton-Raphson

Agora que temos a aproximação inicial, podemos começar a iterar a fórmula de Newton-Raphson para aproximar a raiz quadrada de 2. A cada iteração, vamos atualizar a aproximação inicial com o valor calculado pela fórmula.

Iteração 1

2=12(1+21)=12(1+2)=32=1,5{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + 2 \right) = \frac{3}{2} = 1,5}

Iteração 2

2=12(1,5+21,5)=12(1,5+43)=12(1,5+1,3333)=12(2,8333)=1,4167{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,5 + \frac{2}{1,5} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,5 + \frac{4}{3} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,5 + 1,3333 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8333 \right) = 1,4167}

Iteração 3

2=12(1,4167+21,4167)=12(1,4167+1,4142)=12(2,8309)=1,4154{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,4167 + \frac{2}{1,4167} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,4167 + 1,4142 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8309 \right) = 1,4154}

Iteração 4

2=12(1,4154+21,4154)=12(1,4154+1,4142)=12(2,8296)=1,4148{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,4154 + \frac{2}{1,4154} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,4154 + 1,4142 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8296 \right) = 1,4148}

Iteração 5

2=12(1,4148+21,4148)=12(1,4148+1,4142)=12(2,8289)=1,4145{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,4148 + \frac{2}{1,4148} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,4148 + 1,4142 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8289 \right) = 1,4145}

Iteração 6

2=12(1,4145+21,4145)=12(1,4145+1,4142)=12(2,8287)=1,4144{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,4145 + \frac{2}{1,4145} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,4145 + 1,4142 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8287 \right) = 1,4144}

Iteração 7

2=12(1,4144+21,4144)=12(1,4144+1,4142)=12(2,8286)=1,4144{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,4144 + \frac{2}{1,4144} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,4144 + 1,4142 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8286 \right) = 1,4144}

Iteração 8

2=12(1,4144+21,4144)=12(1,4144+1,4142)=12(2,8286)=1,4144{\sqrt{2} = \frac{1}{2} \left( 1,4144 + \frac{2}{1,4144} \right) = \frac{1}{2} \left( 1,4144 + 1,4142 \right) = \frac{1}{2} \left( 2,8286 \right) = 1,4144}

A partir das iterações acima, podemos ver que a aproximação da raiz quadrada de 2 está convergindo para o valor de 1,4144. Portanto, o valor aproximado de 2{\sqrt{2}} é 1,4144.

A resposta final é:

A) 0,7

Essa resposta não é correta, pois a aproximação da raiz quadrada de 2 é 1,4144, não 0,7.

B) 1,4

Essa resposta não é correta, pois a aproximação da raiz quadrada de 2 é 1,4144, não 1,4.

C) 1,4144

Pergunta 1: O que é a raiz quadrada de 2?

Resposta: A raiz quadrada de 2 é um conceito fundamental na matemática, representado pela notação 2{\sqrt{2}}. Ela é a medida da extensão de um lado de um quadrado cuja área é igual a 2.

Pergunta 2: Por que a raiz quadrada de 2 não é um número racional?

Resposta: A raiz quadrada de 2 não é um número racional porque não pode ser expressa como uma fração de números inteiros. Isso significa que não pode ser escrita como um número decimal finito ou infinito com um padrão repetitivo.

Pergunta 3: Como posso aproximar a raiz quadrada de 2?

Resposta: Existem vários métodos para aproximar a raiz quadrada de 2, incluindo a fórmula de Newton-Raphson. Essa fórmula é baseada na ideia de que a raiz quadrada de um número é a medida da extensão de um lado de um quadrado cuja área é igual ao número.

Pergunta 4: Qual é o valor aproximado da raiz quadrada de 2?

Resposta: O valor aproximado da raiz quadrada de 2 é 1,4144.

Pergunta 5: Por que é importante saber a raiz quadrada de 2?

Resposta: A raiz quadrada de 2 é importante em muitas áreas da matemática e da ciência, incluindo geometria, trigonometria e álgebra. Ela também é usada em muitas aplicações práticas, como cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas.

Pergunta 6: Como posso usar a raiz quadrada de 2 em problemas reais?

Resposta: A raiz quadrada de 2 pode ser usada em muitos problemas reais, como cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas, cálculo de distâncias e ângulos em problemas de geometria e trigonometria, e cálculo de valores em problemas de álgebra.

Pergunta 7: O que é a fórmula de Newton-Raphson?

Resposta: A fórmula de Newton-Raphson é uma fórmula matemática que é usada para aproximar a raiz de uma função. Ela é baseada na ideia de que a raiz de uma função é a medida da extensão de um lado de um quadrado cuja área é igual ao número.

Pergunta 8: Como posso usar a fórmula de Newton-Raphson para aproximar a raiz quadrada de 2?

Resposta: Para usar a fórmula de Newton-Raphson para aproximar a raiz quadrada de 2, você precisa escolher uma aproximação inicial e iterar a fórmula até que a aproximação seja suficientemente precisa.

Pergunta 9: Qual é a importância da precisão na aproximação da raiz quadrada de 2?

Resposta: A precisão na aproximação da raiz quadrada de 2 é importante porque pode afetar a precisão de cálculos e soluções em problemas de matemática e ciência.

Pergunta 10: Como posso verificar a precisão da aproximação da raiz quadrada de 2?

Resposta: Você pode verificar a precisão da aproximação da raiz quadrada de 2 comparando-a com o valor exato ou com outros métodos de aproximação.