Na Drugim Ramieniu Kąta A W Położeniu Standardowym Leży Punkt P, Któreg odległość Od Początku Układu Współrzędnych jest Równa 15. Wyznacz Wsp rzędne Punktu P, Jeśli: A) Sin Alfa=4/5 i Alfa€ (90°, 180°) b) Cos Alfa =-1/5 alfa € (180°, 270º)

Mar 13, 2025 by ADMIN 241 views

2. Wyznaczanie współrzędnych punktu P

Wprowadzenie

W tym rozdziale będziemy rozwiązywać problem dotyczący punktu P, który leży na drugim ramieniu kąta a w położeniu standardowym. Punkt P odlega od początku układu współrzędnych o 15 jednostek. Naszym zadaniem jest znalezienie współrzędnych punktu P w dwóch przypadkach: a) gdy sin alfa = 4/5 i alfa ∈ (90°, 180°) oraz b) gdy cos alfa = -1/5 i alfa ∈ (180°, 270°).

Przypomnienie podstawowych pojęć

Aby rozwiązać ten problem, musimy przypomnieć sobie kilka podstawowych pojęć związanych z układem współrzędnych i funkcjami trygonometrycznymi.

Układ współrzędnych: jest to system dwóch liczb, które określają pozycję punktu w przestrzeni. W układzie standardowym, punkt P ma współrzędne x i y.
Funkcje trygonometryczne: są to funkcje, które opisują stosunki między długościami boków i katami w trójkącie. Najważniejsze funkcje trygonometryczne to sin, cos i tan.

Rozwiązanie problemu

a) sin alfa = 4/5 i alfa ∈ (90°, 180°)

W tym przypadku, mamy do czynienia z kątem alfa, który znajduje się w drugim kwadrancie. W tym kwadrancie, sin alfa jest dodatni. Zatem, możemy narysować trójkąt z kątem alfa, w którym długość przeciwległego boku wynosi 4/5.

Punkt P leży na drugim ramieniu kąta a, co oznacza, że jego współrzędne są odwzorowaniami współrzędnych punktu A. Współrzędne punktu A są następujące:

x = 15 * cos alfa
y = 15 * sin alfa

Podstawiając wartość sin alfa = 4/5, otrzymujemy:

x = 15 * cos alfa
y = 15 * (4/5) = 12

Teraz, musimy znaleźć wartość cos alfa. Pamiętamy, że sin alfa = 4/5 i alfa ∈ (90°, 180°), co oznacza, że cos alfa jest ujemne. Zatem, możemy narysować trójkąt z kątem alfa, w którym długość przeciwległego boku wynosi 4/5.

Używając tożsamości pierwiastka, możemy napisać:

cos alfa = ±√(1 - sin^2 alfa) = ±√(1 - (4/5)^2) = ±√(1 - 16/25) = ±√(9/25) = ±3/5

Ponieważ cos alfa jest ujemne, możemy wybrać wartość -3/5.

Teraz, możemy podstawić wartość cos alfa do równań współrzędnych punktu A:

x = 15 * (-3/5) = -9
y = 12

Otrzymujemy współrzędne punktu P:

x = -9
y = 12

b) cos alfa = -1/5 i alfa ∈ (180°, 270°)

W tym przypadku, mamy do czynienia z kątem alfa, który znajduje się w trzecim kwadrancie. W tym kwadrancie, cos alfa jest ujemne. Zatem, możemy narysować trójkąt z kątem alfa, w którym długość przeciwległego boku wynosi -1/5.

Punkt P leży na drugim ramieniu kąta a, co oznacza, że jego współrzędne są odwzorowaniami współrzędnych punktu A. Współrzędne punktu A są następujące:

x = 15 * cos alfa
y = 15 * sin alfa

Podstawiając wartość cos alfa = -1/5, otrzymujemy:

x = 15 * (-1/5) = -3
y = 15 * sin alfa

Teraz, musimy znaleźć wartość sin alfa. Pamiętamy, że cos alfa = -1/5 i alfa ∈ (180°, 270°), co oznacza, że sin alfa jest ujemne. Zatem, możemy narysować trójkąt z kątem alfa, w którym długość przeciwległego boku wynosi -1/5.

Używając tożsamości pierwiastka, możemy napisać:

sin alfa = ±√(1 - cos^2 alfa) = ±√(1 - (-1/5)^2) = ±√(1 - 1/25) = ±√(24/25) = ±√(24)/5

Ponieważ sin alfa jest ujemne, możemy wybrać wartość -√(24)/5.

Teraz, możemy podstawić wartość sin alfa do równań współrzędnych punktu A:

x = -3
y = 15 * (-√(24)/5) = -3√(24)

Otrzymujemy współrzędne punktu P:

x = -3
y = -3√(24)

Wyniki

W tym rozdziale, rozwiązaliśmy problem dotyczący punktu P, który leży na drugim ramieniu kąta a w położeniu standardowym. Wyznaczyliśmy współrzędne punktu P w dwóch przypadkach: a) gdy sin alfa = 4/5 i alfa ∈ (90°, 180°) oraz b) gdy cos alfa = -1/5 i alfa ∈ (180°, 270°).

W przypadku a), otrzymaliśmy współrzędne punktu P:

x = -9
y = 12

W przypadku b), otrzymaliśmy współrzędne punktu P:

x = -3
y = -3√(24)

Podsumowanie

W tym rozdziale, omówiliśmy problem dotyczący punktu P, który leży na drugim ramieniu kąta a w położeniu standardowym. Wyznaczyliśmy współrzędne punktu P w dwóch przypadkach, korzystając z funkcji trygonometrycznych i tożsamości pierwiastka. Wyniki te mogą być przydatne w różnych dziedzinach, takich jak matematyka, fizyka i inżynieria.
Część 2: Pytania i Odpowiedzi

Wprowadzenie

W poprzedniej części, rozwiązaliśmy problem dotyczący punktu P, który leży na drugim ramieniu kąta a w położeniu standardowym. W tym artykule, przedstawimy odpowiedzi na często zadawane pytania dotyczące tego problemu.

Pytania i Odpowiedzi

Q: Jak obliczyć współrzędne punktu P?

A: Aby obliczyć współrzędne punktu P, należy użyć funkcji trygonometrycznych i tożsamości pierwiastka. W przypadku, gdy sin alfa = 4/5 i alfa ∈ (90°, 180°), należy obliczyć cos alfa i sin alfa, a następnie użyć ich do obliczenia współrzędnych punktu P.

Q: Jak obliczyć cos alfa?

A: Aby obliczyć cos alfa, należy użyć tożsamości pierwiastka: cos alfa = ±√(1 - sin^2 alfa). W przypadku, gdy sin alfa = 4/5, należy obliczyć cos alfa, a następnie użyć go do obliczenia współrzędnych punktu P.

Q: Jak obliczyć sin alfa?

A: Aby obliczyć sin alfa, należy użyć tożsamości pierwiastka: sin alfa = ±√(1 - cos^2 alfa). W przypadku, gdy cos alfa = -1/5, należy obliczyć sin alfa, a następnie użyć go do obliczenia współrzędnych punktu P.

Q: Jak obliczyć współrzędne punktu P w przypadku, gdy cos alfa = -1/5 i alfa ∈ (180°, 270°)?

A: Aby obliczyć współrzędne punktu P w tym przypadku, należy użyć funkcji trygonometrycznych i tożsamości pierwiastka. W tym przypadku, należy obliczyć sin alfa i cos alfa, a następnie użyć ich do obliczenia współrzędnych punktu P.

Q: Jak wybrać wartość sin alfa i cos alfa?

A: Wartość sin alfa i cos alfa zależy od wartości alfa. W przypadku, gdy alfa ∈ (90°, 180°), sin alfa jest dodatni, a cos alfa jest ujemny. W przypadku, gdy alfa ∈ (180°, 270°), sin alfa jest ujemny, a cos alfa jest ujemny.

Q: Jak obliczyć współrzędne punktu P w przypadku, gdy sin alfa = 4/5 i alfa ∈ (90°, 180°)?

A: Aby obliczyć współrzędne punktu P w tym przypadku, należy użyć funkcji trygonometrycznych i tożsamości pierwiastka. W tym przypadku, należy obliczyć cos alfa i sin alfa, a następnie użyć ich do obliczenia współrzędnych punktu P.

Q: Jak obliczyć współrzędne punktu P w przypadku, gdy cos alfa = -1/5 i alfa ∈ (180°, 270°)?

Podsumowanie

W tym artykule, przedstawiliśmy odpowiedzi na często zadawane pytania dotyczące problemu punktu P, który leży na drugim ramieniu kąta a w położeniu standardowym. Wyniki te mogą być przydatne w różnych dziedzinach, takich jak matematyka, fizyka i inżynieria.