Maturalne Karty Pracy MATeMAtyka 2 -dział 3 - Funkcja Wymierna

by ADMIN 63 views

Wprowadzenie do funkcji wymiernych

Funkcja wymierna to podstawowy pojęcie w dziedzinie matematyki, które odgrywa kluczową rolę w analizie i geometrii. W tym artykule przedstawimy podstawowe informacje o funkcjach wymiernych, ich cechy i własności.

Definicja funkcji wymiernych

Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych. Innymi słowy, funkcja wymierna jest funkcją, która może być zaprezentowana w postaci:

f(x) = p(x) / q(x)

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami całkowitymi.

Własności funkcji wymiernych

Funkcje wymierne mają wiele interesujących własności. Oto kilka z nich:

  • Właściwość dodawania: Suma dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną.
  • Właściwość mnożenia: Produkt dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną.
  • Właściwość odwrotności: Jeśli funkcja wymierna jest różna od zera, to jej odwrotność jest również funkcją wymierną.

Przykłady funkcji wymiernych

Oto kilka przykładów funkcji wymiernych:

  • f(x) = 2x / 3
  • f(x) = x^2 + 1 / x + 2
  • f(x) = sin(x) / cos(x)

Zadania i ćwiczenia

Oto kilka zadań i ćwiczeń, które mogą pomóc w zrozumieniu funkcji wymiernych:

  • Zadanie 1: Określ, czy funkcja f(x) = 2x / 3 jest funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Zadanie 2: Określ, czy funkcja f(x) = x^2 + 1 / x + 2 jest funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Zadanie 3: Określ, czy funkcja f(x) = sin(x) / cos(x) jest funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.

Właściwości dodawania i mnożenia funkcji wymiernych

Funkcje wymierne mają interesujące własności dotyczące dodawania i mnożenia. Oto kilka z nich:

Właściwość dodawania

Suma dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Oto przykład:

f(x) = p(x) / q(x) g(x) = r(x) / s(x)

gdzie p(x), q(x), r(x) i s(x) są funkcjami całkowitymi.

Wówczas:

f(x) + g(x) = (p(x)s(x) + q(x)r(x)) / (q(x)s(x))

Właściwość mnożenia

Produkt dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Oto przykład:

f(x) = p(x) / q(x) g(x) = r(x) / s(x)

gdzie p(x), q(x), r(x) i s(x) są funkcjami całkowitymi.

Wówczas:

f(x) * g(x) = (p(x)r(x)) / (q(x)s(x))

Właściwość odwrotności funkcji wymiernych

Jeśli funkcja wymierna jest różna od zera, to jej odwrotność jest również funkcją wymierną. Oto przykład:

f(x) = p(x) / q(x)

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami całkowitymi.

Wówczas:

1 / f(x) = q(x) / p(x)

Zadania i ćwiczenia

Oto kilka zadań i ćwiczeń, które mogą pomóc w zrozumieniu własności funkcji wymiernych:

  • Zadanie 1: Określ, czy suma dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Zadanie 2: Określ, czy produkt dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Zadanie 3: Określ, czy odwrotność funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.

Podsumowanie

Funkcje wymierne są podstawowym pojęciem w dziedzinie matematyki, które odgrywa kluczową rolę w analizie i geometrii. W tym artykule przedstawiliśmy podstawowe informacje o funkcjach wymiernych, ich cechy i własności. Oto kilka zasadniczych punktów:

  • Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Funkcje wymierne mają interesujące własności dotyczące dodawania i mnożenia.
  • Jeśli funkcja wymierna jest różna od zera, to jej odwrotność jest również funkcją wymierną.

Mamy nadzieję, że ten artykuł pomógł w zrozumieniu funkcji wymiernych i ich własności.

Często zadawane pytania i odpowiedzi

Poniżej przedstawiamy często zadawane pytania i odpowiedzi dotyczące funkcji wymiernych.

Pytanie 1: Co to jest funkcja wymierna?

Odpowiedź: Funkcja wymierna to funkcja, która może być wyrażona w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.

Pytanie 2: Jak wyrazić funkcję wymierną w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych?

Odpowiedź: Funkcja wymierna może być wyrażona w postaci:

f(x) = p(x) / q(x)

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami całkowitymi.

Pytanie 3: Czy suma dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną?

Odpowiedź: Tak, suma dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną.

Pytanie 4: Czy produkt dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną?

Odpowiedź: Tak, produkt dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną.

Pytanie 5: Czy odwrotność funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną?

Odpowiedź: Tak, jeśli funkcja wymierna jest różna od zera, to jej odwrotność jest również funkcją wymierną.

Pytanie 6: Jak wyrazić odwrotność funkcji wymiernych?

Odpowiedź: Odwrotność funkcji wymiernych może być wyrażona w postaci:

1 / f(x) = q(x) / p(x)

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami całkowitymi.

Pytanie 7: Co to jest przykład funkcji wymiernych?

Odpowiedź: Przykładami funkcji wymiernych są:

  • f(x) = 2x / 3
  • f(x) = x^2 + 1 / x + 2
  • f(x) = sin(x) / cos(x)

Pytanie 8: Jak wyrazić przykład funkcji wymiernych w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych?

Odpowiedź: Przykłady funkcji wymiernych mogą być wyrażone w postaci:

  • f(x) = 2x / 3 = (2x) / 3
  • f(x) = x^2 + 1 / x + 2 = (x^2 + 1) / (x + 2)
  • f(x) = sin(x) / cos(x) = sin(x) / cos(x)

Zadania i ćwiczenia

Oto kilka zadań i ćwiczeń, które mogą pomóc w zrozumieniu funkcji wymiernych:

  • Zadanie 1: Określ, czy suma dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Zadanie 2: Określ, czy produkt dwóch funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.
  • Zadanie 3: Określ, czy odwrotność funkcji wymiernych jest również funkcją wymierną. Jeśli tak, to wyraź ją w postaci ilorazu dwóch funkcji całkowitych.

Podsumowanie

Funkcje wymierne są podstawowym pojęciem w dziedzinie matematyki, które odgrywa kluczową rolę w analizie i geometrii. W tym artykule przedstawiliśmy często zadawane pytania i odpowiedzi dotyczące funkcji wymiernych. Mamy nadzieję, że ten artykuł pomógł w zrozumieniu funkcji wymiernych i ich własności.