Los Vértices De Una Hipérbola Son Los Puntos 1 = (2, 0), 2 = (−2, 0) Y Sus Focos Son Los Puntos 1 = (3, 0), 2 = (−3, 0). Hallar Su Ecuación Y Su Excentricidad. ​

Introducción

Una hipérbola es un tipo de curva geométrica que se caracteriza por tener dos vértices y dos focos. En este artículo, se presentará el proceso para encontrar la ecuación de una hipérbola cuando se conocen los vértices y los focos. Además, se calculará la excentricidad de la hipérbola.

Vértices y Focos de la Hipérbola

Los vértices de la hipérbola son los puntos 1 = (2, 0) y 2 = (−2, 0), mientras que los focos son los puntos 1 = (3, 0) y 2 = (−3, 0). Estos puntos se encuentran en el eje x, lo que indica que la hipérbola es simétrica con respecto al eje x.

Ecuación de la Hipérbola

La ecuación de una hipérbola se puede escribir en la forma:

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

donde (h, k) es el centro de la hipérbola, a es la distancia desde el centro a un vértice y b es la distancia desde el centro a un foco.

Hallar el Centro de la Hipérbola

El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices. Dado que los vértices son (2, 0) y (−2, 0), el centro se encuentra en el punto (0, 0).

Hallar la Distancia desde el Centro a un Vértice

La distancia desde el centro (0, 0) a un vértice (2, 0) es:

$$a = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$$

Hallar la Distancia desde el Centro a un Foco

La distancia desde el centro (0, 0) a un foco (3, 0) es:

$$c = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$$

Hallar la Distancia desde el Centro a un Foco (b)

La distancia desde el centro (0, 0) a un foco (3, 0) también se puede encontrar usando la fórmula:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos:

$$3^2 = 2^2 + b^2$$

Resolviendo para b, obtenemos:

$$b^2 = 9 - 4 = 5$$

$$b = \sqrt{5}$$

Ecuación Final de la Hipérbola

Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación de la hipérbola, obtenemos:

$$\frac{(x-0)^2}{2^2} - \frac{(y-0)^2}{(\sqrt{5})^2} = 1$$

Simplificando la ecuación, obtenemos:

$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$

Excentricidad de la Hipérbola

La excentricidad de una hipérbola se define como la relación entre la distancia desde el centro a un foco y la distancia desde el centro a un vértice. En este caso, la excentricidad es:

$$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Conclusión

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Preguntas Frecuentes

¿Qué es una hipérbola?

Una hipérbola es un tipo de curva geométrica que se caracteriza por tener dos vértices y dos focos. Es una curva simétrica con respecto al eje x o y.

¿Cómo se define la ecuación de una hipérbola?

La ecuación de una hipérbola se puede escribir en la forma:

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

donde (h, k) es el centro de la hipérbola, a es la distancia desde el centro a un vértice y b es la distancia desde el centro a un foco.

¿Cómo se calcula la excentricidad de una hipérbola?

La excentricidad de una hipérbola se define como la relación entre la distancia desde el centro a un foco y la distancia desde el centro a un vértice. Se calcula mediante la fórmula:

$$e = \frac{c}{a}$$

donde c es la distancia desde el centro a un foco y a es la distancia desde el centro a un vértice.

¿Qué es la distancia desde el centro a un vértice?

La distancia desde el centro a un vértice se llama a y se calcula mediante la fórmula:

$$a = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}$$

donde (x_1, y_1) es el vértice y (x_0, y_0) es el centro.

¿Qué es la distancia desde el centro a un foco?

La distancia desde el centro a un foco se llama c y se calcula mediante la fórmula:

$$c = \sqrt{(x_2-x_0)^2 + (y_2-y_0)^2}$$

donde (x_2, y_2) es el foco y (x_0, y_0) es el centro.

¿Cómo se relacionan los vértices y los focos de una hipérbola?

Los vértices y los focos de una hipérbola se encuentran en el mismo eje que la hipérbola. Los vértices se encuentran en el punto más alejado del centro, mientras que los focos se encuentran en el punto más cercano al centro.

¿Qué es la excentricidad de una hipérbola?

La excentricidad de una hipérbola es una medida de la forma de la hipérbola. Una excentricidad mayor indica que la hipérbola es más achatada, mientras que una excentricidad menor indica que la hipérbola es más alargada.

¿Cómo se utiliza la ecuación de una hipérbola en la vida real?

La ecuación de una hipérbola se utiliza en diversas aplicaciones, como la óptica, la física y la ingeniería. Por ejemplo, se utiliza para diseñar lentes y espejos, así como para modelar la trayectoria de objetos en movimiento.

Respuestas a Preguntas Comunes

¿Qué es la diferencia entre una hipérbola y una elipse?

Una hipérbola es una curva que se abre hacia afuera, mientras que una elipse es una curva que se abre hacia adentro. La ecuación de una hipérbola es diferente a la ecuación de una elipse.

¿Cómo se relaciona la hipérbola con la óptica?

La hipérbola se utiliza en la óptica para diseñar lentes y espejos. La ecuación de la hipérbola se utiliza para modelar la trayectoria de la luz en estos dispositivos.

¿Qué es la importancia de la excentricidad en la hipérbola?

La excentricidad es una medida de la forma de la hipérbola. Una excentricidad mayor indica que la hipérbola es más achatada, mientras que una excentricidad menor indica que la hipérbola es más alargada.

Conclusión

En este artículo, se presentaron preguntas y respuestas sobre hipérbolas. Se discutieron conceptos básicos como la ecuación de una hipérbola, la excentricidad y la relación entre los vértices y los focos. Se proporcionaron respuestas a preguntas comunes y se destacó la importancia de la excentricidad en la hipérbola.