Hallar La Integral Indefinida: ∫ 8 X 2 ( X 3 + 2 ) 3 D X \int \frac{8 X^2}{\left(x^3+2\right)^3} \, D X ∫ ( X 3 + 2 ) 3 8 X 2 ​ D X

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Introducción

La integral indefinida es un concepto fundamental en el cálculo, que se utiliza para encontrar la antiderivada de una función. En este artículo, nos enfocaremos en hallar la integral indefinida de la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$. Esta función es un ejemplo de una función racional, que se puede integrar utilizando técnicas de integración por partes y sustitución.

Técnicas de integración

La integración por partes es una técnica que se utiliza para integrar funciones que se pueden escribir como el producto de dos funciones. La sustitución es otra técnica que se utiliza para integrar funciones que se pueden escribir en términos de una variable nueva. En este caso, podemos utilizar la sustitución para simplificar la función y hacerla más fácil de integrar.

Sustitución

La sustitución es una técnica que se utiliza para integrar funciones que se pueden escribir en términos de una variable nueva. En este caso, podemos utilizar la sustitución para simplificar la función y hacerla más fácil de integrar. La sustitución se puede realizar de la siguiente manera:

Sea $u = x^3 + 2$. Entonces, $du = 3x^2 dx$.

Integración por partes

La integración por partes es una técnica que se utiliza para integrar funciones que se pueden escribir como el producto de dos funciones. La integración por partes se puede realizar de la siguiente manera:

$\int \frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3} \, d x = \int \frac{8}{u^3} \, du$

Simplificación

La función se puede simplificar de la siguiente manera:

$\int \frac{8}{u^3} \, du = \int 8u^{-3} \, du$

Integración

La función se puede integrar de la siguiente manera:

$\int 8u^{-3} \, du = \frac{8}{-2}u^{-2} + C$

Simplificación final

La función se puede simplificar de la siguiente manera:

$\frac{8}{-2}u^{-2} + C = -\frac{4}{u^2} + C$

Sustitución final

La función se puede sustituir de la siguiente manera:

$-\frac{4}{u^2} + C = -\frac{4}{\left(x^3+2\right)^2} + C$

Conclusión

En este artículo, hemos hallado la integral indefinida de la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$. La integral se puede hallar utilizando la sustitución y la integración por partes. La función se puede simplificar y sustituir para obtener la respuesta final.

Referencias

• [1] "Cálculo" de Michael Spivak
• [2] "Introducción al cálculo" de James Stewart

Palabras clave

• Integral indefinida
• Sustitución
• Integración por partes
• Cálculo
• Matemáticas
  Preguntas y respuestas sobre la integral indefinida: $\int \frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3} \, d x$ ===========================================================

Preguntas frecuentes

¿Qué es la integral indefinida?

La integral indefinida es un concepto fundamental en el cálculo que se utiliza para encontrar la antiderivada de una función. La antiderivada de una función es una función que, cuando se integra, produce la función original.

¿Cómo se puede integrar la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$?

La función se puede integrar utilizando la sustitución y la integración por partes. La sustitución se puede realizar de la siguiente manera: sea $u = x^3 + 2$. Entonces, $du = 3x^2 dx$. La integración por partes se puede realizar de la siguiente manera: $\int \frac{8}{u^3} \, du = \int 8u^{-3} \, du$.

¿Qué es la sustitución en el cálculo?

La sustitución es una técnica que se utiliza para integrar funciones que se pueden escribir en términos de una variable nueva. La sustitución se puede realizar de la siguiente manera: sea $u = x^3 + 2$. Entonces, $du = 3x^2 dx$.

¿Qué es la integración por partes en el cálculo?

La integración por partes es una técnica que se utiliza para integrar funciones que se pueden escribir como el producto de dos funciones. La integración por partes se puede realizar de la siguiente manera: $\int \frac{8}{u^3} \, du = \int 8u^{-3} \, du$.

¿Cómo se puede simplificar la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$?

La función se puede simplificar de la siguiente manera: $\frac{8}{-2}u^{-2} + C = -\frac{4}{u^2} + C$. La función se puede sustituir de la siguiente manera: $-\frac{4}{u^2} + C = -\frac{4}{\left(x^3+2\right)^2} + C$.

¿Qué es la respuesta final para la integral indefinida de la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$?

La respuesta final para la integral indefinida de la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$ es: $-\frac{4}{\left(x^3+2\right)^2} + C$.

Respuestas adicionales

¿Qué es la antiderivada de una función?

La antiderivada de una función es una función que, cuando se integra, produce la función original.

¿Cómo se puede utilizar la sustitución en el cálculo?

La sustitución se puede utilizar para integrar funciones que se pueden escribir en términos de una variable nueva. La sustitución se puede realizar de la siguiente manera: sea $u = x^3 + 2$. Entonces, $du = 3x^2 dx$.

¿Cómo se puede utilizar la integración por partes en el cálculo?

La integración por partes se puede utilizar para integrar funciones que se pueden escribir como el producto de dos funciones. La integración por partes se puede realizar de la siguiente manera: $\int \frac{8}{u^3} \, du = \int 8u^{-3} \, du$.

Conclusión

En este artículo, hemos respondido a algunas de las preguntas más frecuentes sobre la integral indefinida de la función $\frac{8 x^2}{\left(x^3+2\right)^3}$. La integral se puede integrar utilizando la sustitución y la integración por partes. La función se puede simplificar y sustituir para obtener la respuesta final.

Referencias

• [1] "Cálculo" de Michael Spivak
• [2] "Introducción al cálculo" de James Stewart

Palabras clave

• Integral indefinida
• Sustitución
• Integración por partes
• Cálculo
• Matemáticas