Hallar La Ecuación De La Circunferencia De Centro C(2, -1) Y Que Sea Tangente A La Recta: Y=x+2
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(2, -1) y que sea tangente a la recta: Y=x+2
La ecuación de una circunferencia se puede representar en forma general como:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
En este caso, el centro de la circunferencia es C(2, -1), por lo que podemos sustituir estos valores en la ecuación general:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2
Ahora, necesitamos encontrar el valor de r, que es el radio de la circunferencia. Para hacer esto, podemos utilizar la condición de que la circunferencia sea tangente a la recta y = x + 2.
Condición de tangencia
Una circunferencia es tangente a una recta si la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta es igual al radio de la circunferencia.
La distancia entre un punto (x0, y0) y una recta ax + by + c = 0 se puede calcular utilizando la fórmula:
d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)
En este caso, la recta es y = x + 2, que se puede escribir en forma estándar como:
x - y + 2 = 0
Ahora, podemos sustituir los valores del centro de la circunferencia (2, -1) en la fórmula de distancia:
d = |(1)(2) + (-1)(-1) + 2| / √(1^2 + (-1)^2) d = |2 + 1 + 2| / √(1 + 1) d = |5| / √2 d = 5 / √2
Relación entre la distancia y el radio
Como la circunferencia es tangente a la recta, la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta es igual al radio de la circunferencia:
r = 5 / √2
Ecuación de la circunferencia
Ahora que tenemos el valor de r, podemos sustituirlo en la ecuación general de la circunferencia:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (5 / √2)^2
Para simplificar la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por √2:
√2(x - 2)^2 + √2(y + 1)^2 = 25
Ahora, podemos expandir los cuadrados y simplificar la ecuación:
2(x^2 - 4x + 4) + 2(y^2 + 2y + 1) = 25
2x^2 - 8x + 8 + 2y^2 + 4y + 2 = 25
2x^2 + 2y^2 - 8x + 4y - 15 = 0
Ecuación final
La ecuación final de la circunferencia es:
2x^2 + 2y^2 - 8x + 4y - 15 = 0
Esta ecuación representa una circunferencia con centro en C(2, -1) y que es tangente a la recta y = x + 2.
Preguntas y respuestas sobre la ecuación de la circunferencia
Pregunta 1: ¿Qué es la ecuación de una circunferencia?
Respuesta: La ecuación de una circunferencia se puede representar en forma general como (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, donde (h, k) es el centro de la circunferencia y r es el radio.
Pregunta 2: ¿Cómo se puede encontrar el valor de r en la ecuación de la circunferencia?
Respuesta: El valor de r se puede encontrar utilizando la condición de tangencia, que establece que la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta es igual al radio de la circunferencia.
Pregunta 3: ¿Qué es la condición de tangencia?
Respuesta: La condición de tangencia establece que una circunferencia es tangente a una recta si la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta es igual al radio de la circunferencia.
Pregunta 4: ¿Cómo se puede calcular la distancia entre un punto y una recta?
Respuesta: La distancia entre un punto (x0, y0) y una recta ax + by + c = 0 se puede calcular utilizando la fórmula: d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2).
Pregunta 5: ¿Qué es la ecuación final de la circunferencia?
Respuesta: La ecuación final de la circunferencia es 2x^2 + 2y^2 - 8x + 4y - 15 = 0, que representa una circunferencia con centro en C(2, -1) y que es tangente a la recta y = x + 2.
Pregunta 6: ¿Cómo se puede utilizar la ecuación de la circunferencia para encontrar el centro y el radio de la circunferencia?
Respuesta: La ecuación de la circunferencia se puede utilizar para encontrar el centro y el radio de la circunferencia al igualar la ecuación a cero y resolver para x e y.
Pregunta 7: ¿Qué es la importancia de la ecuación de la circunferencia en la geometría?
Respuesta: La ecuación de la circunferencia es importante en la geometría porque permite describir la forma y la posición de una circunferencia en el plano cartesiano.
Pregunta 8: ¿Cómo se puede utilizar la ecuación de la circunferencia en la resolución de problemas de geometría?
Respuesta: La ecuación de la circunferencia se puede utilizar en la resolución de problemas de geometría para encontrar la distancia entre dos puntos, la longitud de una línea recta, y la área de un triángulo.
Pregunta 9: ¿Qué es la relación entre la ecuación de la circunferencia y la ecuación de una recta?
Respuesta: La ecuación de la circunferencia y la ecuación de una recta están relacionadas porque la circunferencia es tangente a la recta, lo que significa que la distancia entre el centro de la circunferencia y la recta es igual al radio de la circunferencia.
Pregunta 10: ¿Cómo se puede utilizar la ecuación de la circunferencia para encontrar la ecuación de una recta?
Respuesta: La ecuación de la circunferencia se puede utilizar para encontrar la ecuación de una recta al igualar la ecuación a cero y resolver para x e y.