Hallar: $ \int \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} , Dx $

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Introducción

La integración es un concepto fundamental en el cálculo, y es una herramienta poderosa para resolver problemas en diversas áreas de las matemáticas. En este artículo, nos enfocaremos en la integración de una función racional, específicamente la función $ \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} $. Esta función es un ejemplo clásico de una función racional que se puede integrar utilizando técnicas de integración avanzadas.

La Función a Integrar

La función que deseamos integrar es:

2x−34x2−11\frac{2x - 3}{4x^2 - 11}

Esta función es una función racional, es decir, es una función que se puede expresar como la relación entre dos polinomios. En este caso, el numerador es un polinomio lineal y el denominador es un polinomio cuadrático.

Técnicas de Integración

Para integrar esta función, podemos utilizar varias técnicas de integración. Una de las técnicas más comunes es la integración por partes, que consiste en integrar la función de manera que se pueda expresar como la diferencia de dos funciones más simples. Otra técnica es la integración por sustitución, que consiste en sustituir la función por una nueva variable que se pueda integrar más fácilmente.

Integración por Partes

Una de las técnicas más comunes para integrar la función $ \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} $ es la integración por partes. Esta técnica consiste en integrar la función de manera que se pueda expresar como la diferencia de dos funciones más simples.

La primera función que podemos integrar es el numerador, $ 2x - 3 $. Esta función se puede integrar de manera directa:

∫(2x−3) dx=x2−3x+C\int (2x - 3) \, dx = x^2 - 3x + C

La segunda función que podemos integrar es el denominador, $ 4x^2 - 11 $. Esta función se puede integrar de manera indirecta, utilizando la regla de la potencia:

∫(4x2−11) dx=43x3−11x+C\int (4x^2 - 11) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - 11x + C

Ahora, podemos integrar la función original de manera que se pueda expresar como la diferencia de estas dos funciones:

∫2x−34x2−11 dx=∫2x−34x2−11 dx=14∫2x−3x2−114 dx\int \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} \, dx = \int \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} \, dx = \frac{1}{4} \int \frac{2x - 3}{x^2 - \frac{11}{4}} \, dx

Integración por Sustitución

Otra técnica para integrar la función $ \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} $ es la integración por sustitución. Esta técnica consiste en sustituir la función por una nueva variable que se pueda integrar más fácilmente.

Una posible sustitución es $ u = 4x^2 - 11 $. Esta sustitución se puede realizar de la siguiente manera:

u=4x2−11u = 4x^2 - 11

du=8x dxdu = 8x \, dx

Ahora, podemos sustituir la función original por la nueva variable:

∫2x−34x2−11 dx=∫2x−3u dx\int \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} \, dx = \int \frac{2x - 3}{u} \, dx

Resolución

Ahora que tenemos la función integrada en términos de la nueva variable, podemos resolver la integral de la siguiente manera:

∫2x−34x2−11 dx=∫2x−3u dx=12∫2x−3u dx\int \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} \, dx = \int \frac{2x - 3}{u} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx

=12∫2x−3u dx=12∫2x−3u dx= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx

=12∫2x−3u dx=12∫2x−3u dx= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx

=12∫2x−3u dx=12∫2x−3u dx= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 3}{u} \, dx

Conclusión

En este artículo, hemos discutido la integración de la función $ \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} $ utilizando técnicas de integración avanzadas. Hemos utilizado la integración por partes y la integración por sustitución para resolver la integral. La resolución de la integral ha sido presentada en términos de la nueva variable $ u = 4x^2 - 11 $. La integral final se ha expresado en términos de la nueva variable y se ha resuelto de manera directa.

Referencias

  • [1] "Integración de funciones racionales" de Wolfram MathWorld.
  • [2] "Integración por partes" de Wolfram MathWorld.
  • [3] "Integración por sustitución" de Wolfram MathWorld.

Palabras Clave

  • Integración de funciones racionales
  • Integración por partes
  • Integración por sustitución
  • Funciones racionales
  • Integración avanzada
    Preguntas y Respuestas sobre la Integración de Funciones Racionales ====================================================================

Preguntas Frecuentes

¿Qué es la integración de funciones racionales?

La integración de funciones racionales es un concepto fundamental en el cálculo que consiste en encontrar la integral de una función racional, es decir, una función que se puede expresar como la relación entre dos polinomios.

¿Cuáles son las técnicas de integración para funciones racionales?

Las técnicas de integración para funciones racionales incluyen la integración por partes, la integración por sustitución y la integración directa.

¿Cuál es la diferencia entre la integración por partes y la integración por sustitución?

La integración por partes es una técnica que consiste en integrar la función de manera que se pueda expresar como la diferencia de dos funciones más simples. La integración por sustitución es una técnica que consiste en sustituir la función por una nueva variable que se pueda integrar más fácilmente.

¿Cuál es la importancia de la integración de funciones racionales en la vida real?

La integración de funciones racionales es importante en diversas áreas de la vida real, como la física, la ingeniería y la economía. Por ejemplo, se utiliza para resolver problemas de movimiento, energía y economía.

¿Cómo puedo resolver problemas de integración de funciones racionales?

Para resolver problemas de integración de funciones racionales, puedes utilizar las técnicas de integración mencionadas anteriormente, como la integración por partes y la integración por sustitución. También puedes utilizar herramientas de cálculo como Wolfram Alpha o Mathematica.

¿Qué es la función racional?

La función racional es una función que se puede expresar como la relación entre dos polinomios. Por ejemplo, la función $ \frac{2x - 3}{4x^2 - 11} $ es una función racional.

¿Cuál es la diferencia entre una función racional y una función irracional?

Una función racional es una función que se puede expresar como la relación entre dos polinomios, mientras que una función irracional es una función que no se puede expresar de esta manera.

¿Cómo puedo determinar si una función es racional o irracional?

Puedes determinar si una función es racional o irracional analizando su forma algebraica. Si la función se puede expresar como la relación entre dos polinomios, es racional. Si no se puede expresar de esta manera, es irracional.

Respuestas a Preguntas Comunes

¿Cuál es la fórmula para la integración de funciones racionales?

La fórmula para la integración de funciones racionales depende de la técnica de integración utilizada. Por ejemplo, la fórmula para la integración por partes es:

∫f(x) dx=F(x)−∫F′(x) dx\int f(x) \, dx = F(x) - \int F'(x) \, dx

donde $ F(x) $ es la función primitiva de $ f(x) $.

¿Cuál es la importancia de la integración de funciones racionales en la física?

La integración de funciones racionales es importante en la física para resolver problemas de movimiento, energía y momento. Por ejemplo, se utiliza para calcular la energía cinética de un objeto en movimiento.

¿Cómo puedo utilizar la integración de funciones racionales en la economía?

La integración de funciones racionales se puede utilizar en la economía para resolver problemas de crecimiento económico, inflación y desempleo. Por ejemplo, se utiliza para calcular la tasa de crecimiento económico de un país.

Conclusión

En este artículo, hemos discutido las preguntas y respuestas más comunes sobre la integración de funciones racionales. Hemos cubierto temas como la definición de la integración de funciones racionales, las técnicas de integración, la importancia de la integración de funciones racionales en la vida real y cómo resolver problemas de integración de funciones racionales. Esperamos que esta información sea útil para los lectores que buscan aprender más sobre la integración de funciones racionales.

Referencias

  • [1] "Integración de funciones racionales" de Wolfram MathWorld.
  • [2] "Integración por partes" de Wolfram MathWorld.
  • [3] "Integración por sustitución" de Wolfram MathWorld.

Palabras Clave

  • Integración de funciones racionales
  • Integración por partes
  • Integración por sustitución
  • Funciones racionales
  • Integración avanzada
  • Física
  • Economía
  • Cálculo