Halla Los Primeros Términos De Una Progresión Aritmética Sabiendo Que El $5^{\circ}$ Término Es $\frac{11}{4}$ Y El $12^{\circ}$ Término Es $\frac{25}{4}$.

Introducción

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos es constante. En otras palabras, si tenemos una progresión aritmética con términos $a_1, a_2, a_3, \ldots$, entonces la diferencia entre cada pair de términos es la misma, digamos $d$. Por ejemplo, la secuencia $2, 5, 8, 11, \ldots$ es una progresión aritmética con diferencia común $3$.

En este artículo, nos enfocaremos en encontrar los primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el $5^{\circ}$ término es $\frac{11}{4}$ y el $12^{\circ}$ término es $\frac{25}{4}$.

Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

donde $a_n$ es el enésimo término, $a_1$ es el primer término, $n$ es el número del término y $d$ es la diferencia común.

Hallar la diferencia común

Sabemos que el $5^{\circ}$ término es $\frac{11}{4}$ y el $12^{\circ}$ término es $\frac{25}{4}$. Podemos usar la fórmula para el enésimo término para escribir dos ecuaciones:

$$\frac{11}{4} = a_1 + (5-1)d$$

$$\frac{25}{4} = a_1 + (12-1)d$$

Podemos simplificar estas ecuaciones:

$$\frac{11}{4} = a_1 + 4d$$

$$\frac{25}{4} = a_1 + 11d$$

Restando la primera ecuación de la segunda ecuación, obtenemos:

$$\frac{25}{4} - \frac{11}{4} = 11d - 4d$$

$$\frac{14}{4} = 7d$$

$$\frac{7}{2} = d$$

Por lo tanto, la diferencia común es $\frac{7}{2}$.

Hallar el primer término

Ahora que sabemos la diferencia común, podemos usar una de las ecuaciones para hallar el primer término. Usaremos la primera ecuación:

$$\frac{11}{4} = a_1 + 4d$$

Sustituyendo $d = \frac{7}{2}$, obtenemos:

$$\frac{11}{4} = a_1 + 4\left(\frac{7}{2}\right)$$

$$\frac{11}{4} = a_1 + 14$$

Restando 14 de ambos lados, obtenemos:

$$\frac{11}{4} - 14 = a_1$$

$$\frac{11}{4} - \frac{56}{4} = a_1$$

$$-\frac{45}{4} = a_1$$

Por lo tanto, el primer término es $-\frac{45}{4}$.

Conclusión

En este artículo, hemos encontrado los primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el $5^{\circ}$ término es $\frac{11}{4}$ y el $12^{\circ}$ término es $\frac{25}{4}$. La diferencia común es $\frac{7}{2}$ y el primer término es $-\frac{45}{4}$.

Ejercicios

1. Hallar los primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que el $3^{\circ}$ término es $-2$ y el $8^{\circ}$ término es $5$.
2. Hallar la diferencia común de una progresión aritmética sabiendo que el $2^{\circ}$ término es $3$ y el $5^{\circ}$ término es $7$.
3. Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que la diferencia común es $-3$ y el $4^{\circ}$ término es $-2$.

Referencias

• [1] "Progresiones aritméticas". Wikipedia, la enciclopedia libre.
• [2] "Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética". Math Open Reference.

Palabras clave

• Progresión aritmética
• Diferencia común
• Primer término
• Enésimo término
• Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética
  

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos es constante. Por ejemplo, la secuencia $2, 5, 8, 11, \ldots$ es una progresión aritmética con diferencia común $3$.

¿Cómo se calcula la diferencia común de una progresión aritmética?

La diferencia común se puede calcular usando la fórmula:

$$d = \frac{a_n - a_{n-1}}{n - (n-1)}$$

donde $a_n$ es el enésimo término y $a_{n-1}$ es el término anterior.

¿Cómo se calcula el primer término de una progresión aritmética?

El primer término se puede calcular usando la fórmula:

$$a_1 = a_n - (n-1)d$$

donde $a_n$ es el enésimo término, $n$ es el número del término y $d$ es la diferencia común.

¿Cómo se calcula el enésimo término de una progresión aritmética?

El enésimo término se puede calcular usando la fórmula:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

donde $a_1$ es el primer término, $n$ es el número del término y $d$ es la diferencia común.

¿Qué es la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

donde $a_1$ es el primer término, $n$ es el número del término y $d$ es la diferencia común.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para resolver problemas?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para resolver problemas que involucran progresiones aritméticas. Por ejemplo, si se nos da la diferencia común y el enésimo término, podemos usar la fórmula para encontrar el primer término. De manera similar, si se nos da el primer término y la diferencia común, podemos usar la fórmula para encontrar el enésimo término.

¿Qué es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos es constante, mientras que una progresión geométrica es una secuencia de números en la que el cociente entre cada pair de términos es constante.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para encontrar la diferencia común?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para encontrar la diferencia común si se nos da el primer término y el enésimo término. Por ejemplo, si se nos da el primer término $a_1$ y el enésimo término $a_n$, podemos usar la fórmula para encontrar la diferencia común $d$.

¿Qué es la importancia de la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es importante porque se puede usar para resolver problemas que involucran progresiones aritméticas. Además, la fórmula se puede usar para encontrar la diferencia común y el primer término de una progresión aritmética.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para encontrar el primer término?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para encontrar el primer término si se nos da el enésimo término y la diferencia común. Por ejemplo, si se nos da el enésimo término $a_n$ y la diferencia común $d$, podemos usar la fórmula para encontrar el primer término $a_1$.

¿Qué es la importancia de la diferencia común en una progresión aritmética?

La diferencia común es importante en una progresión aritmética porque se puede usar para encontrar el primer término y el enésimo término. Además, la diferencia común se puede usar para resolver problemas que involucran progresiones aritméticas.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para encontrar la diferencia común?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para encontrar la diferencia común si se nos da el primer término y el enésimo término. Por ejemplo, si se nos da el primer término $a_1$ y el enésimo término $a_n$, podemos usar la fórmula para encontrar la diferencia común $d$.

¿Qué es la importancia de la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética en la vida real?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es importante en la vida real porque se puede usar para resolver problemas que involucran progresiones aritméticas. Por ejemplo, la fórmula se puede usar para encontrar la diferencia común y el primer término de una progresión aritmética, lo que es útil en problemas de finanzas, economía y ciencias sociales.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para encontrar el enésimo término?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para encontrar el enésimo término si se nos da el primer término y la diferencia común. Por ejemplo, si se nos da el primer término $a_1$ y la diferencia común $d$, podemos usar la fórmula para encontrar el enésimo término $a_n$.

¿Qué es la importancia de la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética en la educación?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es importante en la educación porque se puede usar para resolver problemas que involucran progresiones aritméticas. Además, la fórmula se puede usar para encontrar la diferencia común y el primer término de una progresión aritmética, lo que es útil en problemas de matemáticas y ciencias.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para encontrar la diferencia común?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para encontrar la diferencia común si se nos da el primer término y el enésimo término. Por ejemplo, si se nos da el primer término $a_1$ y el enésimo término $a_n$, podemos usar la fórmula para encontrar la diferencia común $d$.

¿Qué es la importancia de la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética en la investigación?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es importante en la investigación porque se puede usar para resolver problemas que involucran progresiones aritméticas. Además, la fórmula se puede usar para encontrar la diferencia común y el primer término de una progresión aritmética, lo que es útil en problemas de ciencias sociales y económicas.

¿Cómo se puede usar la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética para encontrar el primer término?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética se puede usar para encontrar el primer término si se nos da el enésimo término y la diferencia común. Por ejemplo, si se nos da el enésimo término $a_n$ y la diferencia común $d$, podemos usar la fórmula para encontrar el primer término $a_1$.

¿Qué es la importancia de la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética en la práctica?

La fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética es importante en la práctica porque se puede usar para resolver problemas