Factoriza La Expresión: $6x^2 + 9 - 15x$

$$

Introducción

La factorización es una técnica fundamental en álgebra que consiste en expresar una expresión polinómica como producto de factores más simples. En este artículo, nos enfocaremos en factorizar la expresión $6x^2 + 9 - 15x$. Esta expresión es un polinomio cuadrático, que se puede factorizar utilizando diferentes técnicas.

Factorización de Polinomios Cuadráticos

Un polinomio cuadrático es una expresión de la forma $ax^2 + bx + c$, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes y $x$ es la variable. La factorización de un polinomio cuadrático implica expresarlo como producto de dos binomios. La forma general de factorizar un polinomio cuadrático es:

$$ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)$$

donde $m$, $n$, $p$ y $q$ son constantes que se deben determinar.

Factorizar la Expresión $6x^2 + 9 - 15x$

Para factorizar la expresión $6x^2 + 9 - 15x$, podemos comenzar por identificar los términos que se pueden factorizar. En este caso, podemos ver que el término $6x^2$ se puede factorizar como $6x^2 = 6x \cdot x$. También podemos ver que el término $9$ es un número constante que no se puede factorizar. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 6x \cdot x + 9 - 15x$$

Ahora, podemos intentar factorizar el término $-15x$ como producto de dos binomios. Podemos ver que $-15x = -3x \cdot 5x$. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 6x \cdot x + 9 - 3x \cdot 5x$$

Ahora, podemos ver que el término $9$ se puede factorizar como $9 = 3 \cdot 3$. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 6x \cdot x + 3 \cdot 3 - 3x \cdot 5x$$

Finalmente, podemos ver que el término $6x \cdot x$ se puede factorizar como $6x \cdot x = 3 \cdot 2x \cdot x$. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 3 \cdot 2x \cdot x + 3 \cdot 3 - 3x \cdot 5x$$

Ahora, podemos ver que el término $3 \cdot 2x \cdot x$ se puede factorizar como $3 \cdot 2x \cdot x = 3x \cdot 2x$. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 3x \cdot 2x + 3 \cdot 3 - 3x \cdot 5x$$

Finalmente, podemos ver que la expresión se puede factorizar como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 3x(2x - 5x) + 3 \cdot 3$$

Ahora, podemos ver que el término $3x(2x - 5x)$ se puede factorizar como $3x(2x - 5x) = 3x \cdot (2x - 5x)$. Por lo tanto, podemos escribir la expresión como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 3x \cdot (2x - 5x) + 3 \cdot 3$$

Finalmente, podemos ver que la expresión se puede factorizar como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 3x(2x - 5x) + 3^2$$

Conclusión

En este artículo, hemos factorizado la expresión $6x^2 + 9 - 15x$ utilizando diferentes técnicas. La factorización de un polinomio cuadrático implica expresarlo como producto de dos binomios. La forma general de factorizar un polinomio cuadrático es:

$$ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)$$

donde $m$, $n$, $p$ y $q$ son constantes que se deben determinar. En este caso, hemos factorizado la expresión $6x^2 + 9 - 15x$ como:

$$6x^2 + 9 - 15x = 3x(2x - 5x) + 3^2$$

Pregunta 1: ¿Qué es la factorización de polinomios cuadráticos?

Respuesta: La factorización de polinomios cuadráticos es una técnica que consiste en expresar un polinomio cuadrático como producto de dos binomios. Esto implica encontrar dos binomios que, cuando se multiplican, produzcan el polinomio original.

Pregunta 2: ¿Cómo se factoriza un polinomio cuadrático?

Respuesta: Para factorizar un polinomio cuadrático, debemos identificar los términos que se pueden factorizar. Luego, podemos intentar factorizar el término restante como producto de dos binomios. La forma general de factorizar un polinomio cuadrático es:

$$ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)$$

donde $m$, $n$, $p$ y $q$ son constantes que se deben determinar.

Pregunta 3: ¿Cuáles son los pasos para factorizar un polinomio cuadrático?

Respuesta: Los pasos para factorizar un polinomio cuadrático son:

1. Identificar los términos que se pueden factorizar.
2. Intentar factorizar el término restante como producto de dos binomios.
3. Verificar si el producto de los dos binomios es igual al polinomio original.

Pregunta 4: ¿Qué es un binomio?

Respuesta: Un binomio es una expresión que consta de dos términos separados por un signo de suma o resta. Por ejemplo, $2x + 3$ es un binomio.

Pregunta 5: ¿Cómo se factoriza un binomio?

Respuesta: Un binomio se factoriza cuando se expresa como producto de dos factores. Por ejemplo, $2x + 3$ se puede factorizar como $(2x + 1)(x + 3)$.

Pregunta 6: ¿Qué es un polinomio cuadrático?

Respuesta: Un polinomio cuadrático es una expresión que consta de un término cuadrático, un término lineal y un término constante. Por ejemplo, $2x^2 + 3x + 1$ es un polinomio cuadrático.

Pregunta 7: ¿Cómo se factoriza un polinomio cuadrático con un término cuadrático negativo?

Respuesta: Para factorizar un polinomio cuadrático con un término cuadrático negativo, debemos identificar los factores del término cuadrático negativo. Luego, podemos intentar factorizar el término restante como producto de dos binomios.

Pregunta 8: ¿Qué es la factorización de un polinomio cuadrático en factores reales?

Respuesta: La factorización de un polinomio cuadrático en factores reales implica expresar el polinomio como producto de dos binomios con coeficientes reales.

Pregunta 9: ¿Cómo se factoriza un polinomio cuadrático con un término cuadrático positivo?

Respuesta: Para factorizar un polinomio cuadrático con un término cuadrático positivo, debemos identificar los factores del término cuadrático positivo. Luego, podemos intentar factorizar el término restante como producto de dos binomios.

Pregunta 10: ¿Qué es la factorización de un polinomio cuadrático en factores complejos?

Respuesta: La factorización de un polinomio cuadrático en factores complejos implica expresar el polinomio como producto de dos binomios con coeficientes complejos.