F(x) = X³/3 - X² - 3x + 8 Fonksiyonunun Yerel Ekstremum Noktalarını Bulunuz

Mar 11, 2025 by ADMIN 77 views

Yerel Ekstremum Noktaları: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 Fonksiyonu

Giriş

Matematikte, yerel ekstremum noktaları fonksiyonun en küçük veya en büyük değerini temsil eder. Bu noktalar, fonksiyonun grafik üzerinde bir minimum veya maksimum nokta oluşturur. Bu makalede, f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulacağız.

Fonksiyonun Tanımı

Fonksiyonumuz, x³/3 - x² - 3x + 8 olarak tanımlanır. Bu fonksiyon, bir polinom fonksiyonudur ve üçüncü derecedir.

Yerel Ekstremum Noktaları Bulma

Yerel ekstremum noktaları bulmak için, fonksiyonun ilk ve ikinci türevlerini bulmamız gerekir.

İlk Türev

Fonksiyonun ilk türevini bulmak için, x değişkenini 1'e göre farklılaştırırsak:

f'(x) = d/dx (x³/3 - x² - 3x + 8) = x² - 2x - 3

İkinci Türev

Fonksiyonun ikinci türevini bulmak için, x değişkenini 1'e göre farklılaştırırsak:

f''(x) = d/dx (x² - 2x - 3) = 2x - 2

Yerel Ekstremum Noktaları

Yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun ilk türevinin sıfır olduğu noktalardır. Bu noktaları bulmak için, f'(x) = 0'ye eşit olan x değerlerini bulmamız gerekir:

x² - 2x - 3 = 0

Bu denklemin kareler toplamı olarak yazılabilir:

(x - 3)(x + 1) = 0

Bu denklemin kökleri, x = 3 ve x = -1'dir. Bu noktalar, fonksiyonun yerel ekstremum noktalarıdır.

İkinci Türev Testi

İkinci türev testi, yerel ekstremum noktalarının doğasını belirlemek için kullanılır. Eğer ikinci türev, yerel ekstremum noktasının x değerinde pozitif ise, o nokta bir minimum noktadır. Eğer ikinci türev, yerel ekstremum noktasının x değerinde negatif ise, o nokta bir maksimum noktadır.

f''(x) = 2x - 2

x = 3 için:

f''(3) = 2(3) - 2 = 4

x = -1 için:

f''(-1) = 2(-1) - 2 = -4

Bu sonuçlar, x = 3 noktasının bir minimum nokta ve x = -1 noktasının bir maksimum nokta olduğunu gösteriyor.

Sonuç

Bu makalede, f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulduk. Yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun ilk türevinin sıfır olduğu noktalar ve ikinci türev testi ile doğrulanmıştır. Bu sonuçlar, fonksiyonun grafik üzerinde minimum ve maksimum noktaları oluşturduğunu gösteriyor.

Referanslar

[1] "Matematiksel Fonksiyonlar". Wikipedia.
[2] "Yerel Ekstremum Noktaları". Math Open Reference.
[3] "İkinci Türev Testi". Khan Academy.

Ek Bilgiler

Yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun en küçük veya en büyük değerini temsil eder.
İkinci türev testi, yerel ekstremum noktalarının doğasını belirlemek için kullanılır.
Fonksiyonun ilk türevinin sıfır olduğu noktalar, yerel ekstremum noktalarıdır.
Sıkça Sorulan Sorular: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 Fonksiyonu

Giriş

Bu makalede, f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonu ile ilgili sıkça sorulan sorulara cevap verdik. Fonksiyonun yerel ekstremum noktaları, ikinci türev testi ve diğer konular hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Soru 1: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları nelerdir?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları x = 3 ve x = -1'dir. x = 3 noktası bir minimum nokta, x = -1 noktası ise bir maksimum noktadır.

Soru 2: İkinci türev testi nedir?

Cevap: İkinci türev testi, yerel ekstremum noktalarının doğasını belirlemek için kullanılır. Eğer ikinci türev, yerel ekstremum noktasının x değerinde pozitif ise, o nokta bir minimum noktadır. Eğer ikinci türev, yerel ekstremum noktasının x değerinde negatif ise, o nokta bir maksimum noktadır.

Soru 3: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun ilk türevi nedir?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun ilk türevi x² - 2x - 3'dir.

Soru 4: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun ikinci türevi nedir?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun ikinci türevi 2x - 2'dir.

Soru 5: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları nasıl bulunur?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun ilk türevinin sıfır olduğu noktalar ve ikinci türev testi ile doğrulanır.

Soru 6: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun minimum ve maksimum noktaları nelerdir?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun minimum noktası x = 3'dir, maksimum noktası ise x = -1'dir.

Soru 7: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun grafik nasıl çizilir?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun grafik, fonksiyonun yerel ekstremum noktaları ve ikinci türev testi ile çizilir.

Soru 8: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları nasıl kullanılır?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerini belirlemek için kullanılır.

Soru 9: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun ikinci türev testi nasıl kullanılır?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun ikinci türev testi, yerel ekstremum noktalarının doğasını belirlemek için kullanılır.

Soru 10: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları nasıl bulunur?

Cevap: f(x) = x³/3 - x² - 3x + 8 fonksiyonunun yerel ekstremum noktaları, fonksiyonun ilk türevinin sıfır olduğu noktalar ve ikinci türev testi ile doğrulanır.

Sonuç