Evalúa Log ⁡ 3 − Log ⁡ 2 Log ⁡ 27 − Log ⁡ 8 \frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}} L O G 27 ​ − L O G 8 ​ L O G 3 − L O G 2 ​ .

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Introducción

La evaluación de expresiones algebraicas involucrando logaritmos es un tema fundamental en matemáticas. En este artículo, nos enfocaremos en evaluar la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$. Para abordar este problema, necesitamos comprender las propiedades de los logaritmos y cómo se pueden simplificar expresiones involucrando logaritmos.

Propiedades de los Logaritmos

Los logaritmos son una herramienta fundamental en matemáticas que nos permiten trabajar con números y expresiones de manera más sencilla. Algunas de las propiedades más importantes de los logaritmos son:

• Propiedad de la base: $\log_b a = c \iff b^c = a$
• Propiedad de la potencia: $\log_b (a^c) = c \log_b a$
• Propiedad de la suma: $\log_b (a + c) = \log_b a + \log_b (1 + \frac{c}{a})$
• Propiedad de la diferencia: $\log_b (a - c) = \log_b a + \log_b (1 - \frac{c}{a})$

Simplificación de la Expresión

Para evaluar la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$, necesitamos simplificarla utilizando las propiedades de los logaritmos. Primero, podemos simplificar la expresión en el numerador y denominador de la fracción:

$\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}}$

Ahora, podemos aplicar la propiedad de la potencia para simplificar la expresión en el denominador:

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$

Aplicación de la Propiedad de la Potencia

Ahora, podemos aplicar la propiedad de la potencia para simplificar la expresión en el denominador:

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Aplicación de la Propiedad de la Base

Ahora, podemos aplicar la propiedad de la base para simplificar la expresión:

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Simplificación Final

Ahora, podemos simplificar la expresión final:

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\log 2}{\log 2}$

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\log 2}{\log 2} = \frac{\log \frac{3}{2} \cdot \log 2}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \log 2}$

$\frac{\log \frac{3}{2} \cdot \log 2}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \log 2} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Conclusión

En este artículo, hemos evaluado la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$ utilizando las propiedades de los logaritmos. A través de una serie de pasos, hemos simplificado la expresión y llegado a la conclusión de que la expresión es igual a $\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}}$. Esta expresión puede ser simplificada aún más utilizando la propiedad de la base, lo que nos da la respuesta final de $\boxed{3}$.

Referencias

• [1] "Logaritmos". Wikipedia, la enciclopedia libre.
• [2] "Propiedades de los Logaritmos". Khan Academy.
• [3] "Simplificación de Expresiones con Logaritmos". Mathway.

Palabras Clave

• Logaritmos
• Propiedades de los Logaritmos
• Simplificación de Expresiones con Logaritmos
• Evaluación de Expresiones Algebraicas
• Matemáticas
  

Introducción

La evaluación de expresiones algebraicas involucrando logaritmos es un tema fundamental en matemáticas. En este artículo, hemos abordado la evaluación de la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$ utilizando las propiedades de los logaritmos. A continuación, presentamos una serie de preguntas y respuestas que pueden ayudar a aclarar cualquier duda sobre el tema.

Preguntas y Respuestas

Pregunta 1: ¿Qué son los logaritmos?

Respuesta: Los logaritmos son una herramienta fundamental en matemáticas que nos permiten trabajar con números y expresiones de manera más sencilla. Los logaritmos de un número a con base b se definen como el exponente al que se debe elevar b para obtener a.

Pregunta 2: ¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?

Respuesta: Las propiedades de los logaritmos son:

• Propiedad de la base: $\log_b a = c \iff b^c = a$
• Propiedad de la potencia: $\log_b (a^c) = c \log_b a$
• Propiedad de la suma: $\log_b (a + c) = \log_b a + \log_b (1 + \frac{c}{a})$
• Propiedad de la diferencia: $\log_b (a - c) = \log_b a + \log_b (1 - \frac{c}{a})$

Pregunta 3: ¿Cómo se simplifica la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$?

Respuesta: La expresión se simplifica utilizando las propiedades de los logaritmos. Primero, se simplifica la expresión en el numerador y denominador de la fracción:

$\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}}$

Luego, se aplica la propiedad de la potencia para simplificar la expresión en el denominador:

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{8}}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}$

Finalmente, se aplica la propiedad de la base para simplificar la expresión:

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\log 2}{\log 2}$

$\frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\log 2}{\log 2} = \frac{\log \frac{3}{2} \cdot \log 2}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \log 2}$

$\frac{\log \frac{3}{2} \cdot \log 2}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \log 2} = \frac{\log \frac{3}{2}}{\log \frac{3\sqrt{3}}{2}}$

Pregunta 4: ¿Cuál es la respuesta final de la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$?

Respuesta: La respuesta final de la expresión es $\boxed{3}$.

Conclusión

En este artículo, hemos presentado una serie de preguntas y respuestas que pueden ayudar a aclarar cualquier duda sobre la evaluación de expresiones algebraicas con logaritmos. La evaluación de la expresión $\frac{\log 3 - \log 2}{\log \sqrt{27} - \log \sqrt{8}}$ se simplifica utilizando las propiedades de los logaritmos, y la respuesta final es $\boxed{3}$.

Referencias

• [1] "Logaritmos". Wikipedia, la enciclopedia libre.
• [2] "Propiedades de los Logaritmos". Khan Academy.
• [3] "Simplificación de Expresiones con Logaritmos". Mathway.

Palabras Clave

• Logaritmos
• Propiedades de los Logaritmos
• Simplificación de Expresiones con Logaritmos
• Evaluación de Expresiones Algebraicas
• Matemáticas