Encontre As Raizes Das Equaçoes A Seguir E Defina Os Intervalos-x² + X - 6 = 0
Encontre as raízes das equações a seguir e defina os intervalos
Equação 1: x² + x - 6 = 0
A equação x² + x - 6 = 0 é uma equação quadrática, que pode ser resolvida usando a fórmula quadrática. A fórmula quadrática é uma fórmula matemática que permite encontrar as raízes de uma equação quadrática de forma rápida e eficiente.
A fórmula quadrática
A fórmula quadrática é dada por:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Nesta equação, a é o coeficiente do termo x², b é o coeficiente do termo x e c é o termo constante. Para a equação x² + x - 6 = 0, a = 1, b = 1 e c = -6.
Calculando as raízes
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula quadrática, obtemos:
x = (-(1) ± √((1)² - 4(1)(-6))) / 2(1) x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2 x = (-1 ± √25) / 2 x = (-1 ± 5) / 2
Raízes da equação
Portanto, as raízes da equação x² + x - 6 = 0 são:
x = (-1 + 5) / 2 = 2 x = (-1 - 5) / 2 = -3
Intervalos
Para definir os intervalos, precisamos determinar os valores de x para os quais a equação é verdadeira. Isso pode ser feito plotando a função f(x) = x² + x - 6 em um gráfico.
Gráfico da função
O gráfico da função f(x) = x² + x - 6 é uma parábola que se abre para cima. A parábola tem um vértice em x = -1/2 e uma interseção com o eixo x em x = 2 e x = -3.
Intervalos
Com base no gráfico, podemos determinar os intervalos para os quais a equação é verdadeira:
- Intervalo 1: x ∈ (-∞, -3)
- Intervalo 2: x ∈ (-3, 2)
- Intervalo 3: x ∈ (2, ∞)
Conclusão
Em conclusão, as raízes da equação x² + x - 6 = 0 são x = 2 e x = -3. Além disso, definimos os intervalos para os quais a equação é verdadeira, que são x ∈ (-∞, -3), x ∈ (-3, 2) e x ∈ (2, ∞).
Equação 2: x² - 4x + 4 = 0
A equação x² - 4x + 4 = 0 é outra equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula quadrática.
A fórmula quadrática
A fórmula quadrática é dada por:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Nesta equação, a é o coeficiente do termo x², b é o coeficiente do termo x e c é o termo constante. Para a equação x² - 4x + 4 = 0, a = 1, b = -4 e c = 4.
Calculando as raízes
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula quadrática, obtemos:
x = (4 ± √((-4)² - 4(1)(4))) / 2(1) x = (4 ± √(16 - 16)) / 2 x = (4 ± √0) / 2 x = (4 ± 0) / 2
Raízes da equação
Portanto, a raiz da equação x² - 4x + 4 = 0 é:
x = 4/2 = 2
Intervalos
Para definir os intervalos, precisamos determinar os valores de x para os quais a equação é verdadeira. Isso pode ser feito plotando a função f(x) = x² - 4x + 4 em um gráfico.
Gráfico da função
O gráfico da função f(x) = x² - 4x + 4 é uma parábola que se abre para cima. A parábola tem um vértice em x = 2 e uma interseção com o eixo x em x = 2.
Intervalos
Com base no gráfico, podemos determinar os intervalos para os quais a equação é verdadeira:
- Intervalo 1: x ∈ (-∞, 2)
- Intervalo 2: x ∈ (2, ∞)
Conclusão
Em conclusão, a raiz da equação x² - 4x + 4 = 0 é x = 2. Além disso, definimos os intervalos para os quais a equação é verdadeira, que são x ∈ (-∞, 2) e x ∈ (2, ∞).
Equação 3: x² + 2x - 15 = 0
A equação x² + 2x - 15 = 0 é outra equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula quadrática.
A fórmula quadrática
A fórmula quadrática é dada por:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Nesta equação, a é o coeficiente do termo x², b é o coeficiente do termo x e c é o termo constante. Para a equação x² + 2x - 15 = 0, a = 1, b = 2 e c = -15.
Calculando as raízes
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula quadrática, obtemos:
x = (-2 ± √((2)² - 4(1)(-15))) / 2(1) x = (-2 ± √(4 + 60)) / 2 x = (-2 ± √64) / 2 x = (-2 ± 8) / 2
Raízes da equação
Portanto, as raízes da equação x² + 2x - 15 = 0 são:
x = (-2 + 8) / 2 = 3 x = (-2 - 8) / 2 = -5
Intervalos
Para definir os intervalos, precisamos determinar os valores de x para os quais a equação é verdadeira. Isso pode ser feito plotando a função f(x) = x² + 2x - 15 em um gráfico.
Gráfico da função
O gráfico da função f(x) = x² + 2x - 15 é uma parábola que se abre para cima. A parábola tem um vértice em x = -1 e interseções com o eixo x em x = 3 e x = -5.
Intervalos
Com base no gráfico, podemos determinar os intervalos para os quais a equação é verdadeira:
- Intervalo 1: x ∈ (-∞, -5)
- Intervalo 2: x ∈ (-5, 3)
- Intervalo 3: x ∈ (3, ∞)
Conclusão
Em conclusão, as raízes da equação x² + 2x - 15 = 0 são x = 3 e x = -5. Além disso, definimos os intervalos para os quais a equação é verdadeira, que são x ∈ (-∞, -5), x ∈ (-5, 3) e x ∈ (3, ∞).
Equação 4: x² - 3x - 4 = 0
A equação x² - 3x - 4 = 0 é outra equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula quadrática.
A fórmula quadrática
A fórmula quadrática é dada por:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Nesta equação, a é o coeficiente do termo x², b é o coeficiente do termo x e c é o termo constante. Para a equação x² - 3x - 4 = 0, a = 1, b = -3 e c = -4.
Calculando as raízes
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula quadrática, obtemos:
x = (3 ± √((-3)² - 4(1)(-4))) / 2(1)
x = (3 ± √(9 + 16)) / 2
Perguntas e Respostas sobre Equações Quadráticas
Q: O que é uma equação quadrática?
A: Uma equação quadrática é uma equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Q: Como resolver uma equação quadrática?
A: Existem várias maneiras de resolver uma equação quadrática, incluindo a fórmula quadrática, a factorização e a substituição.
Q: Qual é a fórmula quadrática?
A: A fórmula quadrática é dada por:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Q: Como usar a fórmula quadrática?
A: Para usar a fórmula quadrática, você precisa substituir os valores de a, b e c na fórmula e resolver para x.
Q: O que é o vértice de uma parábola?
A: O vértice de uma parábola é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola. Para encontrar o vértice de uma parábola, você precisa encontrar o valor de x que faz a derivada da função igual a zero.
Q: Como encontrar o vértice de uma parábola?
A: Para encontrar o vértice de uma parábola, você precisa encontrar o valor de x que faz a derivada da função igual a zero. Isso pode ser feito usando a fórmula:
x = -b / 2a
Q: O que são os intervalos de uma equação quadrática?
A: Os intervalos de uma equação quadrática são os intervalos de valores de x para os quais a equação é verdadeira.
Q: Como encontrar os intervalos de uma equação quadrática?
A: Para encontrar os intervalos de uma equação quadrática, você precisa plotar a função em um gráfico e encontrar os intervalos de valores de x para os quais a função é positiva ou negativa.
Q: Qual é a importância de resolver equações quadráticas?
A: Resolver equações quadráticas é importante porque elas são usadas em muitas áreas da matemática e da ciência, incluindo a física, a engenharia e a economia.
Q: Como aplicar as equações quadráticas em problemas reais?
A: As equações quadráticas podem ser aplicadas em problemas reais em muitas áreas, incluindo a física, a engenharia e a economia. Por exemplo, a equação quadrática pode ser usada para modelar a trajetória de um objeto em movimento, ou para encontrar o valor de uma função em um ponto específico.
Q: O que é a factorização de equações quadráticas?
A: A factorização de equações quadráticas é a técnica de resolver uma equação quadrática dividindo-a em fatores.
Q: Como usar a factorização para resolver equações quadráticas?
A: Para usar a factorização para resolver equações quadráticas, você precisa dividir a equação em fatores e resolver para x.
Q: Qual é a vantagem da factorização em relação à fórmula quadrática?
A: A vantagem da factorização em relação à fórmula quadrática é que ela pode ser mais fácil de usar em alguns casos, especialmente quando a equação pode ser facilmente dividida em fatores.
Q: O que é a substituição em equações quadráticas?
A: A substituição em equações quadráticas é a técnica de resolver uma equação quadrática substituindo uma variável por outra.
Q: Como usar a substituição para resolver equações quadráticas?
A: Para usar a substituição para resolver equações quadráticas, você precisa substituir uma variável por outra e resolver para x.
Q: Qual é a vantagem da substituição em relação à fórmula quadrática?
A: A vantagem da substituição em relação à fórmula quadrática é que ela pode ser mais fácil de usar em alguns casos, especialmente quando a equação pode ser facilmente substituída por outra.
Conclusão
Em conclusão, as equações quadráticas são uma área importante da matemática que pode ser aplicada em muitas áreas da ciência e da engenharia. A fórmula quadrática, a factorização e a substituição são técnicas importantes para resolver equações quadráticas. Além disso, a compreensão dos intervalos e do vértice de uma parábola é fundamental para resolver equações quadráticas.