Encontrar El Vértice, Foco, Ecuación De La Directriz Y Grafique La Parábola (2x-4)2 = 8y-16
Introducción
Las parábolas son curvas que se encuentran en la geometría y la álgebra, y son fundamentales en la resolución de problemas en física, ingeniería y otras áreas. Una parábola es una curva que se abre hacia arriba o hacia abajo y tiene un punto central llamado vértice. En este artículo, exploraremos cómo encontrar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y graficar la parábola dada por la ecuación (2x-4)2 = 8y-16.
Ecuación de la parábola
La ecuación dada es (2x-4)2 = 8y-16. Para encontrar el vértice, el foco y la ecuación de la directriz, debemos completar el cuadrado en la variable x.
Completar el cuadrado
Para completar el cuadrado, debemos aislar la variable x en un lado de la ecuación. Primero, podemos reescribir la ecuación como:
(2x-4)2 = 8y-16
Luego, podemos expandir el cuadrado y simplificar la ecuación:
4x2 - 16x + 16 = 8y - 16
Ahora, podemos aislar la variable x en un lado de la ecuación:
4x2 - 16x = 8y
Dividiendo ambos lados por 4, obtenemos:
x2 - 4x = 2y
Ahora, podemos completar el cuadrado en la variable x:
x2 - 4x + 4 = 2y + 4
x2 - 4x + 4 = 2y + 4
x2 - 4x + 4 = 2(y + 2)
Ahora, podemos reescribir la ecuación en forma de parábola:
(x - 2)2 = 2(y + 2)
Vértice
El vértice de una parábola se encuentra en el punto (h, k), donde h es la coordenada x del vértice y k es la coordenada y del vértice. En la ecuación (x - 2)2 = 2(y + 2), podemos ver que el vértice se encuentra en el punto (2, -2).
Coordenadas del vértice
Las coordenadas del vértice son (h, k) = (2, -2).
Foco
El foco de una parábola se encuentra en el punto (h, k + p), donde p es la distancia desde el vértice al foco. En la ecuación (x - 2)2 = 2(y + 2), podemos ver que el foco se encuentra en el punto (2, -2 + p).
Distancia desde el vértice al foco
La distancia desde el vértice al foco es p = 1.
Coordenadas del foco
Las coordenadas del foco son (h, k + p) = (2, -2 + 1) = (2, -1).
Ecuación de la directriz
La ecuación de la directriz de una parábola se encuentra en la forma y = k - p. En la ecuación (x - 2)2 = 2(y + 2), podemos ver que la ecuación de la directriz es y = -2 - 1.
Ecuación de la directriz
La ecuación de la directriz es y = -3.
Graficar la parábola
Para graficar la parábola, podemos usar la ecuación (x - 2)2 = 2(y + 2). Podemos graficar la parábola en un plano cartesiano, con el eje x en la horizontal y el eje y en la vertical.
Grafico de la parábola
El grafico de la parábola es una curva que se abre hacia arriba y tiene un vértice en el punto (2, -2).
Conclusión
En este artículo, exploramos cómo encontrar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y graficar la parábola dada por la ecuación (2x-4)2 = 8y-16. Aprendimos a completar el cuadrado en la variable x, a encontrar las coordenadas del vértice y del foco, y a escribir la ecuación de la directriz. También aprendimos a graficar la parábola en un plano cartesiano.
Introducción
En el artículo anterior, exploramos cómo encontrar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y graficar la parábola dada por la ecuación (2x-4)2 = 8y-16. En este artículo, respondemos a algunas preguntas frecuentes sobre parábolas y proporcionamos más información sobre este tema.
Preguntas y respuestas
Pregunta 1: ¿Qué es una parábola?
Respuesta: Una parábola es una curva que se encuentra en la geometría y la álgebra. Es una curva que se abre hacia arriba o hacia abajo y tiene un punto central llamado vértice.
Pregunta 2: ¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?
Respuesta: El vértice de una parábola se encuentra en el punto (h, k), donde h es la coordenada x del vértice y k es la coordenada y del vértice. Para encontrar el vértice, debemos completar el cuadrado en la variable x.
Pregunta 3: ¿Qué es el foco de una parábola?
Respuesta: El foco de una parábola es el punto que se encuentra a una distancia p del vértice. La distancia p se llama distancia focal.
Pregunta 4: ¿Cómo se encuentra la ecuación de la directriz de una parábola?
Respuesta: La ecuación de la directriz de una parábola se encuentra en la forma y = k - p, donde k es la coordenada y del vértice y p es la distancia focal.
Pregunta 5: ¿Cómo se grafica una parábola?
Respuesta: Para graficar una parábola, debemos usar la ecuación de la parábola y trazar la curva en un plano cartesiano.
Pregunta 6: ¿Qué es la distancia focal de una parábola?
Respuesta: La distancia focal de una parábola es la distancia desde el vértice al foco. La distancia focal se denota con la letra p.
Pregunta 7: ¿Cómo se relacionan la ecuación de la parábola y la ecuación de la directriz?
Respuesta: La ecuación de la parábola y la ecuación de la directriz están relacionadas por la distancia focal. La ecuación de la directriz se encuentra en la forma y = k - p, donde k es la coordenada y del vértice y p es la distancia focal.
Pregunta 8: ¿Qué es la ecuación de la parábola en forma estándar?
Respuesta: La ecuación de la parábola en forma estándar es (x - h)2 = 4p(y - k), donde (h, k) es el vértice de la parábola y p es la distancia focal.
Pregunta 9: ¿Cómo se relacionan la ecuación de la parábola y el foco?
Respuesta: La ecuación de la parábola y el foco están relacionados por la distancia focal. El foco se encuentra a una distancia p del vértice.
Pregunta 10: ¿Qué es la parábola en la vida real?
Respuesta: La parábola se encuentra en la vida real en muchas aplicaciones, como en la óptica, la física, la ingeniería y la arquitectura.
Conclusión
En este artículo, respondimos a algunas preguntas frecuentes sobre parábolas y proporcionamos más información sobre este tema. Aprendimos sobre el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la distancia focal de una parábola. También aprendimos sobre la ecuación de la parábola en forma estándar y la relación entre la ecuación de la parábola y el foco.