En Una Proporción Geométrica De Razón 3, La Suma De Los Términos De La Segunda Razón Es Menor Que La Suma De Los Términos De La Primera Razón En 56. Determine La Diferencia Entre Los Antecedentes. A) 62 B) 64 C) 66 D) 68 E) 42
Introducción
Una proporción geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón. En este problema, se nos da que la razón es 3 y que la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Nuestro objetivo es determinar la diferencia entre los antecedentes.
Definición de proporción geométrica
Una proporción geométrica se define como una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón. La razón se denota con la letra r. Por ejemplo, si la razón es 3, la secuencia sería: 1, 3, 9, 27, ...
Suma de los términos de la primera razón
La suma de los términos de la primera razón se puede calcular usando la fórmula:
S1 = a / (1 - r)
donde a es el primer término y r es la razón. En este caso, a = 1 y r = 3, por lo que la suma de los términos de la primera razón es:
S1 = 1 / (1 - 3) = 1 / (-2) = -1/2
Suma de los términos de la segunda razón
La suma de los términos de la segunda razón se puede calcular usando la fórmula:
S2 = a / (1 - r^2)
donde a es el primer término y r es la razón. En este caso, a = 1 y r = 3, por lo que la suma de los términos de la segunda razón es:
S2 = 1 / (1 - 3^2) = 1 / (1 - 9) = 1 / (-8) = -1/8
Diferencia entre las sumas
La diferencia entre las sumas se puede calcular como:
D = S1 - S2 = -1/2 - (-1/8) = -1/2 + 1/8 = -4/8 + 1/8 = -3/8
Diferencia entre los antecedentes
La diferencia entre los antecedentes se puede calcular como:
d = a2 - a1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8
Conclusión
La diferencia entre los antecedentes es 8. La respuesta correcta es D) 68.
Solución alternativa
Otra forma de resolver este problema es usando la fórmula para la suma de una serie geométrica:
S = a / (1 - r)
donde a es el primer término y r es la razón. En este caso, a = 1 y r = 3, por lo que la suma de los términos de la primera razón es:
S1 = 1 / (1 - 3) = 1 / (-2) = -1/2
La suma de los términos de la segunda razón es:
S2 = 1 / (1 - 3^2) = 1 / (1 - 9) = 1 / (-8) = -1/8
La diferencia entre las sumas es:
D = S1 - S2 = -1/2 - (-1/8) = -1/2 + 1/8 = -4/8 + 1/8 = -3/8
La diferencia entre los antecedentes es:
d = a2 - a1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8
La respuesta correcta es D) 68.
Preguntas relacionadas
- ¿Cuál es la razón de una proporción geométrica?
- ¿Cómo se calcula la suma de los términos de una proporción geométrica?
- ¿Cómo se calcula la diferencia entre las sumas de dos proporciones geométricas?
- ¿Cómo se calcula la diferencia entre los antecedentes de dos proporciones geométricas?
Resumen
En este artículo, hemos discutido cómo determinar la diferencia entre los antecedentes de una proporción geométrica de razón 3, dado que la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Hemos utilizado la fórmula para la suma de una serie geométrica y hemos calculado la diferencia entre las sumas y la diferencia entre los antecedentes. La respuesta correcta es D) 68.
¿Qué es una proporción geométrica?
Una proporción geométrica es una secuencia de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón.
¿Cómo se calcula la razón de una proporción geométrica?
La razón de una proporción geométrica se puede calcular dividiendo cualquier término por el término anterior. Por ejemplo, si la secuencia es 1, 3, 9, 27, ..., la razón es 3.
¿Cómo se calcula la suma de los términos de una proporción geométrica?
La suma de los términos de una proporción geométrica se puede calcular usando la fórmula:
S = a / (1 - r)
donde a es el primer término y r es la razón.
¿Cómo se calcula la diferencia entre las sumas de dos proporciones geométricas?
La diferencia entre las sumas de dos proporciones geométricas se puede calcular como:
D = S1 - S2
donde S1 y S2 son las sumas de los términos de las dos proporciones geométricas.
¿Cómo se calcula la diferencia entre los antecedentes de dos proporciones geométricas?
La diferencia entre los antecedentes de dos proporciones geométricas se puede calcular como:
d = a2 - a1
donde a1 y a2 son los primeros términos de las dos proporciones geométricas.
¿Cuál es la importancia de las proporciones geométricas en la vida real?
Las proporciones geométricas se encuentran en muchos aspectos de la vida real, como la música, la arquitectura y la finanza. Por ejemplo, la música utiliza proporciones geométricas para crear patrones y ritmos, mientras que la arquitectura utiliza proporciones geométricas para diseñar edificios y espacios.
¿Cómo se pueden aplicar las proporciones geométricas en la resolución de problemas?
Las proporciones geométricas se pueden aplicar en la resolución de problemas que involucran crecimiento exponencial, como la población de una ciudad o la cantidad de dinero en una cuenta de ahorro.
¿Qué es la razón común de dos proporciones geométricas?
La razón común de dos proporciones geométricas es la razón que se obtiene al dividir cualquier término de una proporción geométrica por el término correspondiente de la otra proporción geométrica.
¿Cómo se calcula la razón común de dos proporciones geométricas?
La razón común de dos proporciones geométricas se puede calcular como:
r = (a1 / a2) / (b1 / b2)
donde a1 y a2 son los primeros términos de las dos proporciones geométricas, y b1 y b2 son los segundos términos de las dos proporciones geométricas.
¿Qué es la suma común de dos proporciones geométricas?
La suma común de dos proporciones geométricas es la suma de los términos de las dos proporciones geométricas.
¿Cómo se calcula la suma común de dos proporciones geométricas?
La suma común de dos proporciones geométricas se puede calcular como:
S = (a1 + a2) / (1 - r)
donde a1 y a2 son los primeros términos de las dos proporciones geométricas, y r es la razón común de las dos proporciones geométricas.
¿Qué es la diferencia común de dos proporciones geométricas?
La diferencia común de dos proporciones geométricas es la diferencia entre los términos de las dos proporciones geométricas.
¿Cómo se calcula la diferencia común de dos proporciones geométricas?
La diferencia común de dos proporciones geométricas se puede calcular como:
D = (a1 - a2) / (1 - r)
donde a1 y a2 son los primeros términos de las dos proporciones geométricas, y r es la razón común de las dos proporciones geométricas.
¿Qué es la proporción geométrica inversa?
La proporción geométrica inversa es una proporción geométrica en la que la razón es la recíproca de la razón de la proporción geométrica original.
¿Cómo se calcula la proporción geométrica inversa?
La proporción geométrica inversa se puede calcular como:
r' = 1 / r
donde r es la razón de la proporción geométrica original.
¿Qué es la suma de una serie geométrica infinita?
La suma de una serie geométrica infinita es la suma de los términos de la serie geométrica cuando el número de términos es infinito.
¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica infinita?
La suma de una serie geométrica infinita se puede calcular como:
S = a / (1 - r)
donde a es el primer término y r es la razón de la serie geométrica.
¿Qué es la diferencia entre la suma de una serie geométrica infinita y la suma de una serie geométrica finita?
La diferencia entre la suma de una serie geométrica infinita y la suma de una serie geométrica finita es que la suma de una serie geométrica infinita se calcula considerando que el número de términos es infinito, mientras que la suma de una serie geométrica finita se calcula considerando que el número de términos es finito.
¿Cómo se calcula la diferencia entre la suma de una serie geométrica infinita y la suma de una serie geométrica finita?
La diferencia entre la suma de una serie geométrica infinita y la suma de una serie geométrica finita se puede calcular como:
D = S - S'
donde S es la suma de la serie geométrica infinita y S' es la suma de la serie geométrica finita.
¿Qué es la proporción geométrica aritmética?
La proporción geométrica aritmética es una proporción geométrica en la que la razón es la suma de una serie aritmética.
¿Cómo se calcula la proporción geométrica aritmética?
La proporción geométrica aritmética se puede calcular como:
r = a + d
donde a es el primer término y d es la diferencia común de la serie aritmética.
¿Qué es la suma de una serie geométrica aritmética?
La suma de una serie geométrica aritmética es la suma de los términos de la serie geométrica aritmética.
¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica aritmética?
La suma de una serie geométrica aritmética se puede calcular como:
S = a / (1 - r)
donde a es el primer término y r es la razón de la serie geométrica aritmética.
¿Qué es la diferencia entre la suma de una serie geométrica aritmética y la suma de una serie geométrica infinita?
La diferencia entre la suma de una serie geométrica aritmética y la suma de una serie geométrica infinita es que la suma de una serie geométrica aritmética se calcula considerando que el número de términos es finito, mientras que la suma de una serie geométrica infinita se calcula considerando que el número de términos es infinito.
¿Cómo se calcula la diferencia entre la suma de una serie geométrica aritmética y la suma de una serie geométrica infinita?
La diferencia entre la suma de una serie geométrica aritmética y la suma de una serie geométrica infinita se puede calcular como:
D = S - S'
donde S es la suma de la serie geométrica aritmética y S' es la suma de la serie geométrica infinita.
¿Qué es la proporción geométrica exponencial?
La proporción geométrica exponencial es una proporción geométrica en la que la razón es la base de la exponenciación.
¿Cómo se calcula la proporción geométrica exponencial?
La proporción geométrica exponencial se puede calcular como:
r = a^b
donde a es la base y b es el exponente.
¿Qué es la suma de una serie geométrica exponencial?
La suma de una