En Una Proporción Geométrica Continua, La Razón De La Proporción Es Igual A La Media Proporcional, Y La Suma De Sus 4 Términos Es 169. Determine La Diferencia Entre Los Extremos. Opciones: A) 139 B) 141 C) 143 D) 145 E) 147
En una proporción geométrica continua, la razón de la proporción es igual a la media proporcional, y la suma de sus 4 términos es 169. Determine la diferencia entre los extremos.
Introducción Una proporción geométrica es una secuencia de números en la que cada término es obtenido multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón común. En este problema, se nos da que la suma de los 4 términos de la proporción es 169 y que la razón de la proporción es igual a la media proporcional. Nuestro objetivo es encontrar la diferencia entre los extremos de la proporción.
Proporción geométrica Una proporción geométrica se puede representar mediante la siguiente fórmula:
a, ar, ar^2, ar^3, ...
donde a es el primer término y r es la razón común. En este caso, tenemos 4 términos, por lo que la fórmula se puede escribir como:
a, ar, ar^2, ar^3
Razón común y media proporcional Se nos da que la razón de la proporción es igual a la media proporcional. La media proporcional de una secuencia de números es el promedio de los términos medios. En este caso, la media proporcional es:
(ar + ar^2) / 2
Como la razón de la proporción es igual a la media proporcional, podemos plantear la siguiente ecuación:
r = (ar + ar^2) / 2
Suma de los 4 términos Se nos da que la suma de los 4 términos es 169. Podemos escribir la suma de los 4 términos como:
a + ar + ar^2 + ar^3 = 169
Resolución del problema Para resolver este problema, necesitamos encontrar la diferencia entre los extremos de la proporción. La diferencia entre los extremos es:
ar^3 - a
Para encontrar esta diferencia, necesitamos encontrar el valor de a y r. Podemos empezar resolviendo la ecuación:
a + ar + ar^2 + ar^3 = 169
Podemos factorizar la ecuación como:
a(1 + r + r^2 + r^3) = 169
Podemos notar que 1 + r + r^2 + r^3 es igual a (1 + r)(1 + r^2). Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como:
a(1 + r)(1 + r^2) = 169
Ahora, podemos usar la ecuación:
r = (ar + ar^2) / 2
para expresar r en términos de a. Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para obtener:
2r = ar + ar^2
Podemos factorizar la ecuación como:
2r = a(r + r^2)
Podemos notar que r + r^2 es igual a r(1 + r). Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como:
2r = a(r(1 + r))
Podemos dividir ambos lados de la ecuación por r para obtener:
2 = a(1 + r)
Podemos sustituir esta expresión por a en la ecuación:
a(1 + r)(1 + r^2) = 169
Podemos obtener:
2(1 + r)(1 + r^2) = 169
Podemos dividir ambos lados de la ecuación por 2 para obtener:
(1 + r)(1 + r^2) = 84,5
Podemos factorizar la ecuación como:
(1 + r)(1 + r^2) = (1 + r)(1 + r)(1 + r)
Podemos notar que 1 + r^2 es igual a (1 + r)(1 + r). Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como:
(1 + r)^2(1 + r) = 84,5
Podemos dividir ambos lados de la ecuación por (1 + r)^2 para obtener:
1 + r = 9,2
Podemos restar 1 de ambos lados de la ecuación para obtener:
r = 8,2
Ahora que tenemos el valor de r, podemos encontrar el valor de a. Podemos sustituir r en la ecuación:
2r = a(r + r^2)
Podemos obtener:
2(8,2) = a(8,2 + 67,24)
Podemos simplificar la ecuación para obtener:
16,4 = a(75,46)
Podemos dividir ambos lados de la ecuación por 75,46 para obtener:
a = 0,218
Ahora que tenemos el valor de a, podemos encontrar la diferencia entre los extremos de la proporción. La diferencia entre los extremos es:
ar^3 - a
Podemos sustituir los valores de a y r en la ecuación para obtener:
(0,218)(8,2)^3 - 0,218
Podemos simplificar la ecuación para obtener:
(0,218)(531,712) - 0,218
Podemos obtener:
115,5 - 0,218
Podemos obtener:
115,282
La respuesta final es 115,282.
Preguntas y respuestas sobre proporciones geométricas
Pregunta 1: ¿Qué es una proporción geométrica?
Respuesta: Una proporción geométrica es una secuencia de números en la que cada término es obtenido multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón común.
Pregunta 2: ¿Cómo se representa una proporción geométrica?
Respuesta: Una proporción geométrica se puede representar mediante la siguiente fórmula:
a, ar, ar^2, ar^3, ...
donde a es el primer término y r es la razón común.
Pregunta 3: ¿Qué es la razón común en una proporción geométrica?
Respuesta: La razón común es la constante fija que se utiliza para obtener cada término de la proporción.
Pregunta 4: ¿Cómo se calcula la suma de los términos de una proporción geométrica?
Respuesta: La suma de los términos de una proporción geométrica se puede calcular utilizando la fórmula:
a + ar + ar^2 + ar^3 + ... = a(1 + r + r^2 + r^3 + ...)
Pregunta 5: ¿Qué es la media proporcional en una proporción geométrica?
Respuesta: La media proporcional es el promedio de los términos medios de la proporción.
Pregunta 6: ¿Cómo se relaciona la razón común con la media proporcional en una proporción geométrica?
Respuesta: La razón común es igual a la media proporcional en una proporción geométrica.
Pregunta 7: ¿Cómo se puede encontrar la diferencia entre los extremos de una proporción geométrica?
Respuesta: La diferencia entre los extremos de una proporción geométrica se puede encontrar utilizando la fórmula:
ar^3 - a
Pregunta 8: ¿Qué es la proporción geométrica continua?
Respuesta: La proporción geométrica continua es una secuencia de números en la que cada término es obtenido multiplicando el término anterior por una constante fija, llamada razón común, y en la que la suma de los 4 términos es 169.
Pregunta 9: ¿Cómo se puede resolver un problema de proporción geométrica continua?
Respuesta: Un problema de proporción geométrica continua se puede resolver utilizando las fórmulas y conceptos relacionados con las proporciones geométricas, como la suma de los términos, la razón común y la media proporcional.
Pregunta 10: ¿Qué es la importancia de las proporciones geométricas en la vida real?
Respuesta: Las proporciones geométricas tienen una gran importancia en la vida real, ya que se utilizan en una variedad de campos, como la física, la química, la biología, la economía y la finanza, entre otros.