El $6^{\circ}$ Término De Una Progresión Aritmética Es 26 Y El $17^{\circ}$ Término Es 70. Determina El $50^{\circ}$ Término.Respuesta: $a_{50} = 202$

Introducción

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos consecutivos es constante. En este artículo, exploraremos cómo encontrar el 50° término de una progresión aritmética dada la información sobre el 6° y el 17° término.

Definición de una Progresión Aritmética

Una progresión aritmética se define como una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos consecutivos es constante. Esto significa que si tenemos una progresión aritmética con términos $a_1, a_2, a_3, \ldots$, entonces la diferencia entre $a_2$ y $a_1$ es igual a la diferencia entre $a_3$ y $a_2$, y así sucesivamente.

Notación y Convenios

En este artículo, utilizaremos la notación $a_n$ para denotar el $n$ésimo término de la progresión aritmética. También utilizaremos la notación $d$ para denotar la diferencia común entre cada pair de términos consecutivos.

Enunciado del Problema

Dado que el 6° término de una progresión aritmética es 26 y el 17° término es 70, necesitamos encontrar el 50° término.

Análisis del Problema

Para resolver este problema, podemos utilizar la fórmula para el $n$ésimo término de una progresión aritmética:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

donde $a_n$ es el $n$ésimo término, $a_1$ es el primer término, $n$ es el número del término y $d$ es la diferencia común.

Sistema de Ecuaciones

Podemos crear un sistema de ecuaciones utilizando la información dada sobre el 6° y el 17° término:

$$a_6 = a_1 + 5d = 26$$

$$a_{17} = a_1 + 16d = 70$$

Resolución del Sistema de Ecuaciones

Podemos resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a_1$ y $d$.

Primero, podemos restar la primera ecuación de la segunda ecuación para obtener:

$$11d = 44$$

$$d = 4$$

Ahora que tenemos el valor de $d$, podemos sustituirlo en una de las ecuaciones para encontrar el valor de $a_1$. Utilizaremos la primera ecuación:

$$a_1 + 5(4) = 26$$

$$a_1 + 20 = 26$$

$$a_1 = 6$$

Encontrando el 50° Término

Ahora que tenemos los valores de $a_1$ y $d$, podemos encontrar el 50° término utilizando la fórmula:

$$a_{50} = a_1 + (50-1)d$$

$$a_{50} = 6 + 49(4)$$

$$a_{50} = 6 + 196$$

$$a_{50} = 202$$

La respuesta final es $a_{50} = 202$.

Conclusión

En este artículo, hemos analizado una progresión aritmética y hemos encontrado el 50° término utilizando la información sobre el 6° y el 17° término. Hemos utilizado la fórmula para el $n$ésimo término de una progresión aritmética y hemos resuelto un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a_1$ y $d$. Finalmente, hemos encontrado el 50° término utilizando la fórmula.

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética es una secuencia de números en la que la diferencia entre cada pair de términos consecutivos es constante. Esto significa que si tenemos una progresión aritmética con términos $a_1, a_2, a_3, \ldots$, entonces la diferencia entre $a_2$ y $a_1$ es igual a la diferencia entre $a_3$ y $a_2$, y así sucesivamente.

¿Cómo se calcula el $n$ésimo término de una progresión aritmética?

El $n$ésimo término de una progresión aritmética se calcula utilizando la fórmula:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

donde $a_n$ es el $n$ésimo término, $a_1$ es el primer término, $n$ es el número del término y $d$ es la diferencia común.

¿Cómo se encuentra la diferencia común de una progresión aritmética?

La diferencia común de una progresión aritmética se puede encontrar utilizando la información sobre dos términos consecutivos. Por ejemplo, si tenemos la información sobre el 6° y el 17° término, podemos encontrar la diferencia común utilizando la fórmula:

$$d = \frac{a_{17} - a_6}{16-5}$$

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones en el contexto de progresiones aritméticas?

Un sistema de ecuaciones en el contexto de progresiones aritméticas se puede resolver utilizando técnicas de algebra lineal. Por ejemplo, si tenemos un sistema de ecuaciones como:

$$a_6 = a_1 + 5d = 26$$

$$a_{17} = a_1 + 16d = 70$$

podemos resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a_1$ y $d$.

¿Qué es el primer término de una progresión aritmética?

El primer término de una progresión aritmética es el término que se encuentra en la posición 1. Se denota con la letra $a_1$.

¿Qué es la diferencia común de una progresión aritmética?

La diferencia común de una progresión aritmética es la diferencia entre cada pair de términos consecutivos. Se denota con la letra $d$.

¿Cómo se utiliza la fórmula para el $n$ésimo término de una progresión aritmética?

La fórmula para el $n$ésimo término de una progresión aritmética se utiliza para encontrar el valor de un término específico en la secuencia. Por ejemplo, si queremos encontrar el 50° término de una progresión aritmética, podemos utilizar la fórmula:

$$a_{50} = a_1 + (50-1)d$$

¿Qué es un sistema de ecuaciones en el contexto de progresiones aritméticas?

Un sistema de ecuaciones en el contexto de progresiones aritméticas es un conjunto de ecuaciones que involucran la información sobre varios términos de la secuencia. Por ejemplo, si tenemos la información sobre el 6° y el 17° término, podemos crear un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a_1$ y $d$.

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones en el contexto de progresiones aritméticas?

Un sistema de ecuaciones en el contexto de progresiones aritméticas se puede resolver utilizando técnicas de algebra lineal. Por ejemplo, si tenemos un sistema de ecuaciones como:

$$a_6 = a_1 + 5d = 26$$

$$a_{17} = a_1 + 16d = 70$$

podemos resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a_1$ y $d$.

¿Qué es la respuesta final en el contexto de progresiones aritméticas?

La respuesta final en el contexto de progresiones aritméticas es el valor del término específico que se está buscando. Por ejemplo, si queremos encontrar el 50° término de una progresión aritmética, la respuesta final es el valor de $a_{50}$.

¿Cómo se utiliza la información sobre varios términos de una progresión aritmética para encontrar el valor de un término específico?

La información sobre varios términos de una progresión aritmética se utiliza para crear un sistema de ecuaciones que involucra la información sobre los términos. Luego, se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a_1$ y $d$, y finalmente se utiliza la fórmula para encontrar el valor del término específico que se está buscando.