E2. Să Se Calculeze Integralele De Funcții Raționale (numitorii Au Rădăcini Reale Multiple): A) Integrala De La -2 La -1 Din X/(x-1)^2 Dxd) Integrală De La 1 La 2 Din 2x+1/x 2(x+1) 2 Dx

**E2. Să se calculeze integralele de funcții raționale (numitorii au rădăcini reale multiple)**

a) Integrala de la -2 la -1 din x/(x-1)^2 dx

Introducere

În acest articol, vom prezenta metodele de calcul a integralelor de funcții raționale, cu numitorii care au rădăcini reale multiple. Vom demonstra cum se pot calcula aceste integrale folosind tehnici de factorizare și integrare.

Factorizarea numitorului

Pentru a calcula integrala de la -2 la -1 din x/(x-1)^2 dx, trebuie să factorizăm numitorul. Factorizăm x-1 din numitor:

x/(x-1)^2 = (x-1)/(x-1)^2 + 1/(x-1)^2

Integrarea

Acum, putem integra fiecare componentă separat:

∫[(-2) to (-1)] x/(x-1)^2 dx = ∫[(-2) to (-1)] (x-1)/(x-1)^2 dx + ∫[(-2) to (-1)] 1/(x-1)^2 dx

Integrarea primului termen

Pentru a integra primul termen, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[(-2) to (-1)] (x-1)/(x-1)^2 dx = ∫[(-2) to (-1)] 1/(x-1) dx

Integrarea celui de-al doilea termen

Pentru a integra celui de-al doilea termen, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[(-2) to (-1)] 1/(x-1)^2 dx = ∫[(-2) to (-1)] (1/(x-1))^2 dx

Calcularea integrală

Acum, putem calcula integrala:

∫[(-2) to (-1)] x/(x-1)^2 dx = ∫[(-2) to (-1)] 1/(x-1) dx + ∫[(-2) to (-1)] (1/(x-1))^2 dx

Calcularea primului termen

Pentru a calcula primul termen, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[(-2) to (-1)] 1/(x-1) dx = ln|x-1| |(-2) to (-1)| = ln|-1-1| - ln|-2-1| = ln|-2| - ln|-3|

Calcularea celui de-al doilea termen

Pentru a calcula celui de-al doilea termen, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[(-2) to (-1)] (1/(x-1))^2 dx = ∫[(-2) to (-1)] (1/(x-1))^2 dx = -1/(x-1) |(-2) to (-1)| = -1/(-1-1) - (-1/(-2-1)) = -1/(-2) - (-1/(-3)) = 1/2 + 1/3 = 5/6

Calcularea integrală

Acum, putem calcula integrala:

∫[(-2) to (-1)] x/(x-1)^2 dx = ln|-2| - ln|-3| + 5/6

b) Integrală de la 1 la 2 din 2x+1/x^2(x+1)2 dx

Introducere

În acest articol, vom prezenta metodele de calcul a integralelor de funcții raționale, cu numitorii care au rădăcini reale multiple. Vom demonstra cum se pot calcula aceste integrale folosind tehnici de factorizare și integrare.

Factorizarea numitorului

Pentru a calcula integrala de la 1 la 2 din 2x+1/x^2(x+1)2 dx, trebuie să factorizăm numitorul. Factorizăm x^2(x+1)2 din numitor:

2x+1/x^2(x+1)2 = 2x + 1/(x^2(x+1)2)

Integrarea

Acum, putem integra fiecare componentă separat:

∫[1 to 2] 2x+1/x^2(x+1)2 dx = ∫[1 to 2] 2x dx + ∫[1 to 2] 1/x^2(x+1)2 dx

Integrarea primului termen

Pentru a integra primul termen, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[1 to 2] 2x dx = x^2 |(1) to (2)| = (2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3

Integrarea celui de-al doilea termen

Pentru a integra celui de-al doilea termen, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[1 to 2] 1/x^2(x+1)2 dx = ∫[1 to 2] 1/(x^2(x+1)2) dx

Calcularea integrală

Acum, putem calcula integrala:

∫[1 to 2] 2x+1/x^2(x+1)2 dx = 3 + ∫[1 to 2] 1/(x^2(x+1)2) dx

Calcularea integrală

Pentru a calcula integrala, putem folosi regulile de integrare pentru fracții:

∫[1 to 2] 1/(x^2(x+1)2) dx = ∫[1 to 2] 1/(x^2(x+1)2) dx = -1/(x^2(x+1)2) |(1) to (2)| = -1/(2²⁽²⁺¹⁾2) + 1/(1²⁽¹⁺¹⁾2) = -1/28 + 1/4 = -1/28 + 7/28 = 6/28 = 3/14

Calcularea integrală

Acum, putem calcula integrala:

∫[1 to 2] 2x+1/x^2(x+1)2 dx = 3 + 3/14

Răspunsuri la întrebări frecvente

Q: Cum se calculează integrala de la -2 la -1 din x/(x-1)^2 dx?

A: Pentru a calcula integrala, trebuie să factorizăm numitorul și apoi să integram fiecare componentă separat.

Q: Cum se calculează integrala de la 1 la 2 din 2x+1/x^2(x+1)2 dx?

A: Pentru a calcula integrala, trebuie să factorizăm numitorul și apoi să integram fiecare componentă separat.

Q: Care sunt regulile de integrare pentru fracții?

A: Regulile de integrare pentru fracții sunt:

• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫(1/x^2) dx = -1/x + C
• ∫(1/(x^2(x+1)2)) dx = -1/(x^2(x+1)2) + C

Q: Cum se calculează integrala de la -2 la -1 din 1/(x-1)^2 dx?

A: Pentru a calcula integrala, trebuie să folosim regulile de integrare pentru fracții:

∫[(-2) to (-1)] 1/(x-1)^2 dx = -1/(x-1)^2 |(-2) to (-1)| = -1/(-1-1)^2 + 1/(-2-1)^2 = -1/(-2)^2 + 1/(-3)^2 = -1/4 + 1/9 = -9/36 + 4/36 = -5/36

Q: Cum se calculează integrala de la 1 la 2 din 1/x^2(x+1)2 dx?

A: Pentru a calcula integrala, trebuie să folosim regulile de integrare pentru fracții:

∫[1 to 2] 1/x^2(x+1)2 dx = -1/(x^2(x+1)2) |(1) to (2)| = -1/(2²⁽²⁺¹⁾2) + 1/(1²⁽¹⁺¹⁾2) = -1/28 + 1/4 = -1/28 + 7/28 = 6/28 = 3/14