Достатній Рівень Навчальних Досягнень 7. Знайдіть Різницю Арифметичної Прогресії (ат), Якщо А1=7, А Сума Восьми Її Перших Членів Дорівнює 168. 8. Послідовність (сп) — Геометрична Прогресія, С2=27, С5= 3. Знайдіть S6. Високий Рівень Навчальних
Задача 7: Різниця арифметичної прогресії
У цій задачі ми повинні знайти різницю арифметичної прогресії (ат), якщо перший член (а1) дорівнює 7 і сума восьми її перших членів дорівнює 168.
Визначення арифметичної прогресії
Арифметична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожен наступний член отримується шляхом додавання фіксованої різниці до попереднього члена. Наприклад, якщо перший член дорівнює 2 і різниця дорівнює 3, тоді послідовність буде: 2, 5, 8, 11, ...
Визначення суми перших n членів арифметичної прогресії
Сума перших n членів арифметичної прогресії може бути визначена за допомогою наступної формули:
С = (n/2) * (а1 + an)
де С - сума перших n членів, n - кількість членів, а1 - перший член, аан - останній член.
Розв'язання задачі
Ми знаємо, що перший член (а1) дорівнює 7 і сума восьми перших членів дорівнює 168. Нам потрібно знайти різницю (ат).
Попередньо, ми повинні знайти останній член (ан). Для цього ми можемо використовувати формулу:
ан = а1 + (n-1) * ат
де an - останній член, а1 - перший член, n - кількість членів, ат - різниця.
Підставляючи відомі значення, ми отримуємо:
ан = 7 + (8-1) * ат ан = 7 + 7 * ат
Тепер ми можемо використовувати формулу суми перших n членів арифметичної прогресії:
168 = (8/2) * (7 + an) 168 = 4 * (7 + an) 42 = 7 + an
Видалення 7 з обох сторін:
35 = an
Тепер ми можемо підставити значення an у попередню формулу:
35 = 7 + 7 * ат 28 = 7 * ат
Видалення 7 з обох сторін:
4 = ат
Отже, різниця арифметичної прогресії (ат) дорівнює 4.
Задача 8: Геометрична прогресія
У цій задачі ми повинні знайти шостий член (s6) геометричної прогресії, якщо другий член (s2) дорівнює 27 і п'ятий член (s5) дорівнює 3.
Визначення геометричної прогресії
Геометрична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожен наступний член отримується шляхом множення попереднього члена на фіксовану константу. Наприклад, якщо перший член дорівнює 2 і константа дорівнює 3, тоді послідовність буде: 2, 6, 18, 54, ...
Визначення n-й член геометричної прогресії
n-й член геометричної прогресії може бути визначений за допомогою наступної формули:
sn = а1 * г^(n-1)
де sn - n-й член, а1 - перший член, г - константа, n - номер члена.
Розв'язання задачі
Ми знаємо, що другий член (s2) дорівнює 27 і п'ятий член (s5) дорівнює 3. Нам потрібно знайти шостий член (s6).
Попередньо, ми повинні знайти константу (г). Для цього ми можемо використовувати формулу:
s2 = а1 * г^(2-1) 27 = а1 * г
Тепер ми можемо використовувати формулу:
s5 = а1 * г^(5-1) 3 = а1 * г^4
Підставляючи значення s2 у попередню формулу:
27 = а1 * г а1 = 27 / г
Підставляючи значення а1 у попередню формулу:
3 = (27 / г) * г^4 3 = 27 * г^3 г^3 = 3/27 г^3 = 1/9 г = (1/9)^(1/3) г = 1/3^(1/3) г = 1/∛3
Тепер ми можемо підставити значення г у попередню формулу:
s6 = а1 * г^(6-1) s6 = а1 * г^5 s6 = (27 / г) * г^5 s6 = 27 * г^4 s6 = 27 * (1/3(1/3))4 s6 = 27 * (1/∛3)^4 s6 = 27 * 1/∛3^4 s6 = 27 * 1/(∛3^3) * ∛3 s6 = 27 * 1/3 * ∛3 s6 = 9 * ∛3
Отже, шостий член (s6) геометричної прогресії дорівнює 9 * ∛3.
Високий рівень навчальних досягнень
Дані завдання були призначені для перевірки розуміння арифметичної і геометричної прогресії. Розв'язання цих завдань вимагає глибокого розуміння цих понять і здатності застосовувати їх у різноманітних ситуаціях.
Арифметична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожен наступний член отримується шляхом додавання фіксованої різниці до попереднього члена. Геометрична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожен наступний член отримується шляхом множення попереднього члена на фіксовану константу.
У першій задачі ми повинні знайти різницю арифметичної прогресії, якщо перший член дорівнює 7 і сума восьми перших членів дорівнює 168. У другій задачі ми повинні знайти шостий член геометричної прогресії, якщо другий член дорівнює 27 і п'ятий член дорівнює 3.
Розв'язання цих завдань вимагає глибокого розуміння арифметичної і геометричної прогресії, а також здатності застосовувати їх у різноманітних ситуаціях.
Часті запитання і відповіді
Арифметична прогресія
Q: Що таке арифметична прогресія?
А: Арифметична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожен наступний член отримується шляхом додавання фіксованої різниці до попереднього члена.
Q: Як можна знайти різницю арифметичної прогресії?
А: Різницю арифметичної прогресії можна знайти, якщо відомі перший член і сума перших n членів. Для цього можна використовувати формулу:
ат = (2 * С - n * а1) / (n * (n-1))
де ат - різниця, С - сума перших n членів, а1 - перший член, n - кількість членів.
Q: Як можна знайти суму перших n чл��нів арифметичної прогресії?
А: Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, якщо відомі перший член і різниця. Для цього можна використовувати формулу:
С = (n/2) * (а1 + an)
де С - сума перших n членів, а1 - перший член, an - останній член, n - кількість членів.
Q: Як можна знайти останній член арифметичної прогресії?
А: Останній член арифметичної прогресії можна знайти, якщо відомі перший член і різниця. Для цього можна використовувати формулу:
ан = а1 + (n-1) * ат
де an - останній член, а1 - перший член, n - кількість членів, ат - різниця.
Геометрична прогресія
Q: Що таке геометрична прогресія?
А: Геометрична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожен наступний член отримується шляхом множення попереднього члена на фіксовану константу.
Q: Як можна знайти константу геометричної прогресії?
А: Константу геометричної прогресії можна знайти, якщо відомі перший член і будь-який інший член. Для цього можна використовувати формулу:
г = sn / а1
де г - константа, sn - n-й член, а1 - перший член.
Q: Як можна знайти n-й член геометричної прогресії?
А: n-й член геометричної прогресії можна знайти, якщо відомі перший член і константа. Для цього можна використовувати формулу:
sn = а1 * г^(n-1)
де sn - n-й член, а1 - перший член, г - константа, n - номер члена.
Q: Як можна знайти суму перших n членів геометричної прогресії?
А: Суму перших n членів геометричної прогресії можна знайти, якщо відомі перший член і константа. Для цього можна використовувати формулу:
С = а1 * (г^n - 1) / (г - 1)
де С - сума перших n членів, а1 - перший член, г - константа, n - кількість членів.
Загальні питання
Q: Як можна відрізнити арифметичну прогресію від геометричної?
А: Арифметичну прогресію можна ві��різнити від геометричної за допомогою наступних ознак:
- Арифметична прогресія має фіксовану різницю між членами.
- Геометрична прогресія має фіксовану константу між членами.
Q: Як можна використовувати арифметичну і геометричні прогресії в реальному житті?
А: Арифметичну і геометричні прогресії можна використовувати в багатьох галузях, зокрема:
- Фінансах: для розрахунку інтересів по кредиту або депозиту.
- Статистиці: для обробки даних і аналіз тенденцій.
- Інженерії: для розрахунку розмірів і властивостей різних систем.
Q: Як можна підвищити свій рівень розуміння арифметичної і геометричної прогресії?
А: Рівень розуміння арифметичної і геометричної прогресії можна підвищити шляхом:
- Читання навчальних матеріалів і посібників.
- Розв'язання завдань і практичних завдань.
- Підвищення своєї здатності застосовувати ці поняття в різноманітних ситуаціях.