Determine O Polinômio De Taylor De Ordem 1 Da Função F(x, Y) No Ponto P(1, 1). Qual É A Expressão Do Polinômio De Taylor De Ordem 1 Em Relação A X E Y?

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Determine o Polinômio de Taylor de Ordem 1 da Função f(x, y) no Ponto p(1, 1)

Introdução

O polinômio de Taylor é uma ferramenta fundamental na análise de funções multivariadas, permitindo a aproximação de uma função complexa por um polinômio simples. Neste artigo, vamos determinar o polinômio de Taylor de ordem 1 da função f(x, y) no ponto p(1, 1).

Função f(x, y)

Suponha que a função f(x, y) seja dada por:

f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2

Ponto p(1, 1)

O ponto p(1, 1) é um ponto específico no plano cartesiano, onde x = 1 e y = 1.

Polinômio de Taylor de Ordem 1

O polinômio de Taylor de ordem 1 é uma aproximação da função f(x, y) em torno do ponto p(1, 1). Ele é dado por:

f(x, y) ≈ f(1, 1) + (x - 1) * f_x(1, 1) + (y - 1) * f_y(1, 1)

Cálculo dos Derivados

Para determinar o polinômio de Taylor de ordem 1, precisamos calcular os derivados da função f(x, y) em relação a x e y.

f_x(x, y) = 2x + 2y f_y(x, y) = 2x + 2y

Cálculo dos Derivados em (1, 1)

Agora, vamos calcular os derivados em (1, 1).

f_x(1, 1) = 2(1) + 2(1) = 4 f_y(1, 1) = 2(1) + 2(1) = 4

Polinômio de Taylor de Ordem 1

Agora, podemos substituir os valores dos derivados em (1, 1) no polinômio de Taylor de ordem 1.

f(x, y) ≈ f(1, 1) + (x - 1) * f_x(1, 1) + (y - 1) * f_y(1, 1) f(x, y) ≈ (1)^2 + 2(1)(1) + (1)^2 + (x - 1)(4) + (y - 1)(4) f(x, y) ≈ 4 + 4 + (4x - 4) + (4y - 4) f(x, y) ≈ 4 + 4 + 4x - 4 + 4y - 4 f(x, y) ≈ 4x + 4y

Conclusão

O polinômio de Taylor de ordem 1 da função f(x, y) no ponto p(1, 1) é:

f(x, y) ≈ 4x + 4y

Este polinômio é uma aproximação da função f(x, y) em torno do ponto p(1, 1). Ele pode ser utilizado para aproximar a função em pontos próximos do ponto p(1, 1).

Aplicação

O polinômio de Taylor de ordem 1 pode ser utilizado em diversas aplicações, como:

  • Aproximação de funções complexas por polinômios simples
  • Análise de funções multivariadas
  • Otimização de funções

Referências

  • Taylor, B. (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa.
  • Apostol, T. M. (1974). Calculus. Vol. 1. Waltham, MA: Blaisdell Publishing Company.

Notas

  • O polinômio de Taylor de ordem 1 é uma aproximação da função f(x, y) em torno do ponto p(1, 1).
  • O polinômio de Taylor de ordem 1 pode ser utilizado para aproximar a função em pontos próximos do ponto p(1, 1).
  • O polinômio de Taylor de ordem 1 é uma ferramenta fundamental na análise de funções multivariadas.