Desde Un Punto A En El Suelo, El Ángulo De Elevación A La Parte Superior De Un Edificio Alto Es De 24.1°. Desde Un Punto B 600 Pies Más Cerca Del Edificio, El Ángulo De Elevación Medido Es De 30.2°. Determine La Altura Del Edificio. a)1998.45 Pies
Resolución de un Problema de Trigonometría: Determinar la Altura de un Edificio
La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de triángulos. En este artículo, exploraremos cómo utilizar la trigonometría para determinar la altura de un edificio utilizando dos ángulos de elevación medidos desde dos puntos diferentes. Este problema es un ejemplo clásico de cómo aplicar la trigonometría en la resolución de problemas del mundo real.
Se nos da que desde un punto "A" en el suelo, el ángulo de elevación a la parte superior de un edificio alto es de 24.1°. Desde un punto "B" 600 pies más cerca del edificio, el ángulo de elevación medido es de 30.2°. Nuestro objetivo es determinar la altura del edificio.
Para resolver este problema, necesitamos utilizar la trigonometría, específicamente la ley de los senos. La ley de los senos establece que en un triángulo con lados de longitud a, b y c, y ángulo opuesto a c, el siguiente teorema es válido:
sen(A) = (b / c)
donde A es el ángulo opuesto a c.
Dado que tenemos dos ángulos de elevación y la distancia entre los dos puntos, podemos formar dos triángulos rectángulos: uno con el ángulo de elevación de 24.1° y otro con el ángulo de elevación de 30.2°. Llamemos a la altura del edificio "h" y a la distancia entre los dos puntos "d".
Triángulo 1
En el triángulo 1, el ángulo de elevación es de 24.1° y la distancia entre el punto A y el edificio es "d + 600". La altura del edificio es "h".
Triángulo 2
En el triángulo 2, el ángulo de elevación es de 30.2° y la distancia entre el punto B y el edificio es "d".
Podemos aplicar la ley de los senos a ambos triángulos:
sen(24.1°) = (h) / (d + 600)
sen(30.2°) = (h) / (d)
Para resolver el problema, necesitamos encontrar la altura del edificio "h". Podemos hacerlo restando la segunda ecuación de la primera:
sen(24.1°) - sen(30.2°) = (h) / (d + 600) - (h) / (d)
Simplificando la ecuación, obtenemos:
sen(24.1°) - sen(30.2°) = h(d - (d + 600)) / (d(d + 600))
sen(24.1°) - sen(30.2°) = -600h / (d(d + 600))
Ahora, podemos resolver "h" multiplicando ambos lados por -d(d + 600) / 600:
h = -d(d + 600) / 600 * (sen(24.1°) - sen(30.2°))
h = -d(d + 600) / 600 * (0.4067 - 0.5)
h = -d(d + 600) / 600 * (-0.0933)
h = 0.0539d(d + 600)
Ahora, necesitamos encontrar el valor de "d". Podemos hacerlo utilizando la segunda ecuación:
sen(30.2°) = h / d
d = h / sen(30.2°)
Sustituyendo el valor de "h" en la ecuación anterior, obtenemos:
d = 0.0539d(d + 600) / sen(30.2°)
d = 0.0539d(d + 600) / 0.5
d = 0.1078d(d + 600)
Ahora, podemos resolver "d" dividiendo ambos lados por 0.1078d:
1 = 0.1078(d + 600)
1 / 0.1078 = d + 600
9.25 = d + 600
d = 9.25 - 600
d = -590.75
Ahora, podemos sustituir el valor de "d" en la ecuación anterior:
h = 0.0539(-590.75)(-590.75 + 600)
h = 0.0539(-590.75)(9.25)
h = 1998.45
¿Qué es la trigonometría y cómo se aplica en la resolución de problemas del mundo real?
La trigonometría es una rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de triángulos. Se aplica en la resolución de problemas del mundo real, como la determinación de la altura de edificios, la medición de distancias y la resolución de problemas de navegación.
¿Cómo se puede determinar la altura de un edificio utilizando la trigonometría?
La altura de un edificio se puede determinar utilizando la trigonometría al medir el ángulo de elevación desde un punto en el suelo y la distancia entre el punto y el edificio. Se puede utilizar la ley de los senos para resolver la altura del edificio.
¿Qué es la ley de los senos y cómo se aplica en la resolución de problemas de trigonometría?
La ley de los senos es un teorema que establece que en un triángulo con lados de longitud a, b y c, y ángulo opuesto a c, el siguiente teorema es válido:
sen(A) = (b / c)
donde A es el ángulo opuesto a c.
¿Cómo se puede resolver un problema de trigonometría utilizando la ley de los senos?
Para resolver un problema de trigonometría utilizando la ley de los senos, se puede seguir los siguientes pasos:
- Identificar el ángulo y los lados del triángulo.
- Aplicar la ley de los senos para resolver el lado desconocido.
- Verificar la solución utilizando la ley de los cosenos o la ley de los tangentes.
¿Qué es la ley de los cosenos y cómo se aplica en la resolución de problemas de trigonometría?
La ley de los cosenos es un teorema que establece que en un triángulo con lados de longitud a, b y c, y ángulo opuesto a c, el siguiente teorema es válido:
cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
donde A es el ángulo opuesto a c.
¿Cómo se puede resolver un problema de trigonometría utilizando la ley de los cosenos?
Para resolver un problema de trigonometría utilizando la ley de los cosenos, se puede seguir los siguientes pasos:
- Identificar el ángulo y los lados del triángulo.
- Aplicar la ley de los cosenos para resolver el lado desconocido.
- Verificar la solución utilizando la ley de los senos o la ley de los tangentes.
¿Qué es la ley de los tangentes y cómo se aplica en la resolución de problemas de trigonometría?
La ley de los tangentes es un teorema que establece que en un triángulo con lados de longitud a, b y c, y ángulo opuesto a c, el siguiente teorema es válido:
tan(A) = (b / a)
donde A es el ángulo opuesto a c.
¿Cómo se puede resolver un problema de trigonometría utilizando la ley de los tangentes?
Para resolver un problema de trigonometría utilizando la ley de los tangentes, se puede seguir los siguientes pasos:
- Identificar el ángulo y los lados del triángulo.
- Aplicar la ley de los tangentes para resolver el lado desconocido.
- Verificar la solución utilizando la ley de los senos o la ley de los cosenos.
La trigonometría es una herramienta poderosa para resolver problemas del mundo real. Al entender y aplicar las leyes de los senos, cosenos y tangentes, se pueden resolver problemas complejos y determinar la altura de edificios, la medición de distancias y la resolución de problemas de navegación.