Démontre Que Les Vecteurs Ū=-3i+2j Et V=5i-2j Définissent Une Base
Démontre que les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j définissent une base
Dans ce chapitre, nous allons démontrer que les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j définissent une base. Pour ce faire, nous allons utiliser les propriétés des vecteurs et des espaces vectoriels. Nous allons commencer par rappeler les définitions des vecteurs et des espaces vectoriels.
Un vecteur est un objet mathématique qui a une direction et une magnitude. Les vecteurs peuvent être représentés par des flèches ou des vecteurs de position. Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui satisfait certaines propriétés, telles que la fermeture sous addition et la fermeture sous multiplication scalaire.
Une base est un ensemble de vecteurs qui est linéairement indépendant et qui engendre l'espace vectoriel. Cela signifie que tout vecteur de l'espace vectoriel peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j sont deux vecteurs de l'espace vectoriel ℝ². Nous allons maintenant démontrer que ces vecteurs définissent une base.
Linéarité indépendance
Pour démontrer que les vecteurs ū et v sont linéairement indépendants, nous allons montrer que la seule combinaison linéaire qui égale le vecteur nul est la combinaison linéaire nulle.
Soit a et b deux scalaires. Alors, nous avons :
aū + bv = 0
En développant, nous obtenons :
-3ai + 2aj + 5bi - 2bj = 0
En regroupant les termes, nous obtenons :
(-3a + 5b)i + (2a - 2b)j = 0
Puisque les vecteurs i et j sont linéairement indépendants, nous avons :
-3a + 5b = 0 2a - 2b = 0
En résolvant ce système d'équations, nous obtenons :
a = 0 b = 0
Cela signifie que les vecteurs ū et v sont linéairement indépendants.
Engendrement
Pour démontrer que les vecteurs ū et v engendrent l'espace vectoriel ℝ², nous allons montrer que tout vecteur de l'espace vectoriel peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs ū et v.
Soit x un vecteur de l'espace vectoriel ℝ². Alors, nous avons :
x = cū + dv
où c et d sont des scalaires.
En développant, nous obtenons :
x = c(-3i + 2j) + d(5i - 2j)
En regroupant les termes, nous obtenons :
x = (-3c + 5d)i + (2c - 2d)j
Cela signifie que tout vecteur de l'espace vectoriel ℝ² peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs ū et v.
Nous avons démontré que les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j définissent une base. Nous avons utilisé les propriétés des vecteurs et des espaces vectoriels pour démontrer que ces vecteurs sont linéairement indépendants et engendrent l'espace vectoriel ℝ².
- [1] "Algèbre linéaire" de Serge Lang
- [2] "Analyse vectorielle" de James R. Munkres
- Démontrer que les vecteurs ū=2i - 3j et v=4i + 5j sont linéairement indépendants.
- Démontrer que les vecteurs ū=i + j et v=2i - 3j engendrent l'espace vectoriel ℝ².
- Démontrer que les vecteurs ū=3i - 2j et v=5i + 4j sont une base de l'espace vectoriel ℝ².
Q&A : Démontre que les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j définissent une base
Q1 : Qu'est-ce qu'une base en algèbre linéaire ?
Réponse : Une base est un ensemble de vecteurs qui est linéairement indépendant et qui engendre l'espace vectoriel. Cela signifie que tout vecteur de l'espace vectoriel peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Q2 : Comment déterminer si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant ?
Réponse : Pour déterminer si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant, il faut montrer que la seule combinaison linéaire qui égale le vecteur nul est la combinaison linéaire nulle.
Q3 : Comment déterminer si un ensemble de vecteurs engendre l'espace vectoriel ?
Réponse : Pour déterminer si un ensemble de vecteurs engendre l'espace vectoriel, il faut montrer que tout vecteur de l'espace vectoriel peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs de l'ensemble.
Q4 : Quels sont les vecteurs ū et v que nous avons utilisés pour démontrer que les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j définissent une base ?
Réponse : Les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j sont les vecteurs que nous avons utilisés pour démontrer que les vecteurs ū=-3i+2j et v=5i-2j définissent une base.
Q5 : Comment avons-nous démontré que les vecteurs ū et v sont linéairement indépendants ?
Réponse : Nous avons démontré que les vecteurs ū et v sont linéairement indépendants en montrant que la seule combinaison linéaire qui égale le vecteur nul est la combinaison linéaire nulle.
Q6 : Comment avons-nous démontré que les vecteurs ū et v engendrent l'espace vectoriel ?
Réponse : Nous avons démontré que les vecteurs ū et v engendrent l'espace vectoriel en montrant que tout vecteur de l'espace vectoriel peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs ū et v.
Q7 : Quels sont les exercices que nous avons proposés pour aider les lecteurs à comprendre les concepts ?
Réponse : Nous avons proposé trois exercices pour aider les lecteurs à comprendre les concepts :
- Démontrer que les vecteurs ū=2i - 3j et v=4i + 5j sont linéairement indépendants.
- Démontrer que les vecteurs ū=i + j et v=2i - 3j engendrent l'espace vectoriel ℝ².
- Démontrer que les vecteurs ū=3i - 2j et v=5i + 4j sont une base de l'espace vectoriel ℝ².
- [1] "Algèbre linéaire" de Serge Lang
- [2] "Analyse vectorielle" de James R. Munkres
- Démontrer que les vecteurs ū=2i - 3j et v=4i + 5j sont linéairement indépendants.
- Démontrer que les vecteurs ū=i + j et v=2i - 3j engendrent l'espace vectoriel ℝ².
- Démontrer que les vecteurs ū=3i - 2j et v=5i + 4j sont une base de l'espace vectoriel ℝ².