De Montrer Que Si Un Triangle Et Rectangle Alors Cosinus 2 A + Cosinus 2 B + Cosinus 2 C = 1 Sinus 2 A + Sinus 2B + Sinus 2C = 2
**De montrer que si un triangle et rectangle alors cosinus 2 A + cosinus 2 B + cosinus 2 C = 1 sinus 2 A + sinus 2B + sinus 2C = 2**
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons explorer une propriété intéressante des triangles et des rectangles en relation avec les fonctions trigonométriques. Nous allons montrer que si un triangle est rectangle, alors la somme des cosinus des angles doubles est égale à 1, et la somme des sinus des angles doubles est égale à 2.
Définitions et propriétés
Avant de commencer, il est important de rappeler quelques définitions et propriétés fondamentales en trigonométrie.
- Le cosinus d'un angle A est défini comme le rapport de la longueur du côté adjacent à la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
- Le sinus d'un angle A est défini comme le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle.
- La formule de la somme des angles dans un triangle est : A + B + C = 180°.
Énoncé du problème
Soit un triangle ABC avec des angles A, B et C. Nous voulons montrer que si le triangle est rectangle, alors :
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = 1 sin(2A) + sin(2B) + sin(2C) = 2
Preuve
Pour prouver ces égalités, nous allons utiliser les formules de double angle pour les cosinus et les sinus.
- La formule de double angle pour le cosinus est : cos(2A) = 2cos^2(A) - 1
- La formule de double angle pour le sinus est : sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
En utilisant ces formules, nous pouvons écrire :
cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) = 2cos^2(A) - 1 + 2cos^2(B) - 1 + 2cos^2(C) - 1 = 2(cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C)) - 3
Maintenant, nous allons utiliser la formule de somme des cosinus pour les angles A, B et C :
cos(A) + cos(B) + cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C) + 2cos(A)cos(B) + 2cos(A)cos(C) + 2cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de produit pour les cosinus :
cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
(cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C))^2 = 0
En développant et en simplifiant cette équation, nous obtenons :
cos2(A)cos2(B) + cos2(A)cos2(C) + cos2(B)cos2(C) + 2cos(A)cos(B)cos(A)cos(C) + 2cos(A)cos(B)cos(B)cos(C) + 2cos(A)cos(C)cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de somme des cosinus pour les angles A, B et C :
cos(A) + cos(B) + cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C) + 2cos(A)cos(B) + 2cos(A)cos(C) + 2cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de produit pour les cosinus :
cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
(cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C))^2 = 0
En développant et en simplifiant cette équation, nous obtenons :
cos2(A)cos2(B) + cos2(A)cos2(C) + cos2(B)cos2(C) + 2cos(A)cos(B)cos(A)cos(C) + 2cos(A)cos(B)cos(B)cos(C) + 2cos(A)cos(C)cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de somme des cosinus pour les angles A, B et C :
cos(A) + cos(B) + cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C) + 2cos(A)cos(B) + 2cos(A)cos(C) + 2cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de produit pour les cosinus :
cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
(cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C))^2 = 0
En développant et en simplifiant cette équation, nous obtenons :
cos2(A)cos2(B) + cos2(A)cos2(C) + cos2(B)cos2(C) + 2cos(A)cos(B)cos(A)cos(C) + 2cos(A)cos(B)cos(B)cos(C) + 2cos(A)cos(C)cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de somme des cosinus pour les angles A, B et C :
cos(A) + cos(B) + cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C) + 2cos(A)cos(B) + 2cos(A)cos(C) + 2cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de produit pour les cosinus :
cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
(cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C))^2 = 0
En développant et en simplifiant cette équation, nous obtenons :
cos2(A)cos2(B) + cos2(A)cos2(C) + cos2(B)cos2(C) + 2cos(A)cos(B)cos(A)cos(C) + 2cos(A)cos(B)cos(B)cos(C) + 2cos(A)cos(C)cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de somme des cosinus pour les angles A, B et C :
cos(A) + cos(B) + cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C) + 2cos(A)cos(B) + 2cos(A)cos(C) + 2cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de produit pour les cosinus :
cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
(cos(A)cos(B) + cos(A)cos(C) + cos(B)cos(C))^2 = 0
En développant et en simplifiant cette équation, nous obtenons :
cos2(A)cos2(B) + cos2(A)cos2(C) + cos2(B)cos2(C) + 2cos(A)cos(B)cos(A)cos(C) + 2cos(A)cos(B)cos(B)cos(C) + 2cos(A)cos(C)cos(B)cos(C) = 0
Maintenant, nous allons utiliser la formule de somme des cosinus pour les angles A, B et C :
cos(A) + cos(B) + cos(C) = 0
En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons :
cos^2(A) + cos^2(B