ДАЮ 45 БАЛІВ ЗА ВИКОНАННЯ ЗАВДАННЯ! ДОПОМОЖІТЬ!! ​

by ADMIN 51 views

Вступ

Алгебра - це галузь математики, яка вивчає співвідношення між змінними та константами. Вона є фундаментальним інструментом для розуміння багатьох природних явищ та технічних процесів. У цьому розділі ми розглянемо кілька завдань із алгебри та спробуємо їх вирішити.

Завдання 1: Розв'язання лінійної системи рівнянь

Лінійна система рівнянь - це набір лінійних рівнянь, які мають спільні змінні. Наприклад:

2x + 3y = 7 x - 2y = -3

Задача: Розв'язайте цю лінійну систему рівнянь.

Розв'язок: Для розв'язання цієї системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  1. Розв'яжемо перше рівняння відносно x: 2x = 7 - 3y x = (7 - 3y) / 2

  2. Підставимо цей вираз для x у друге рівняння: ((7 - 3y) / 2) - 2y = -3

  3. Розширимо та упростимо рівняння: 7 - 3y - 4y = -6 -7y = -13 y = 13/7

  4. Підставимо цей вираз для y у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: 2x + 3(13/7) = 7 2x + 39/7 = 7 14x + 39 = 49 14x = 10 x = 10/14 x = 5/7

Отримані результати: x = 5/7, y = 13/7

Завдання 2: Розв'язання квадратичної системи рівнянь

Квадратична система рівнянь - це набір квадратичних рівнянь, які мають спільні змінні. Наприклад:

x^2 + 4y = 12 x^2 - 2y = 4

Задача: Розв'язайте цю квадратичну систему рівнянь.

Розв'язок: Для розв'язання цієї системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  1. Розв'яжемо перше рівняння відносно x^2: x^2 = 12 - 4y

  2. Підставимо цей вираз для x^2 у друге рівняння: (12 - 4y) - 2y = 4

  3. Розширимо та упростимо рівняння: 12 - 6y = 4 -6y = -8 y = 8/6 y = 4/3

  4. Підставимо цей вираз для y у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: x^2 + 4(4/3) = 12 x^2 + 16/3 = 12 3x^2 + 16 = 36 3x^2 = 20 x^2 = 20/3 x = ±√(20/3)

Отримані результати: x = ±√(20/3), y = 4/3

Завдання 3: Розв'язання системи лінійних рівнянь з трьома змінними

Система лінійних рівнянь з трьома змінними - це набір лінійних рівнянь, які мають три спільні змінні. Наприклад:

2x + 3y + z = 7 x - 2y + 3z = -3 4x + 2y - z = 10

Задача: Розв'язайте цю систему лінійних рівнянь з трьома змінними.

Розв'язок: Для розв'язання цієї системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  1. Розв'яжемо перше рівняння відносно z: z = 7 - 2x - 3y

  2. Підставимо цей вираз для z у друге рівняння: x - 2y + 3(7 - 2x - 3y) = -3

  3. Розширимо та упростимо рівняння: x - 2y + 21 - 6x - 9y = -3 -5x - 11y = -24

  4. Підставимо цей вираз для z у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: 4x + 2y - (7 - 2x - 3y) = 10

  5. Розширимо та упростимо рівняння: 4x + 2y - 7 + 2x + 3y = 10 6x + 5y = 17

  6. Тепер ми маємо дві системи лінійних рівнянь: -5x - 11y = -24 6x + 5y = 17

  7. Ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення для розв'язання цієї системи рівнянь. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  8. Розв'яжемо перше рівняння відносно x: x = (-24 + 11y) / 5

  9. Підставимо цей вираз для x у друге рівняння: 6((-24 + 11y) / 5) + 5y = 17

  10. Розширимо та упростимо рівняння: -144 + 66y + 25y = 85 91y = 229 y = 229/91 y = 19/7

  11. Підставимо цей вираз для y у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: -5x - 11(19/7) = -24

  12. Розширимо та упростимо рівняння: -5x - 209/7 = -24 -35x - 209 = -168 -35x = 41 x = -41/35

  13. Підставимо цей вираз для x у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: 2(-41/35) + 3y + z = 7

  14. Розширимо та упростимо рівняння: -82/35 + 3y + z = 7 -82 + 105y + 35z = 245 105y + 35z = 327

  15. Тепер ми маємо дві системи лінійних рівнянь: -5x - 11y = -24 105y + 35z = 327

  16. Ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення для розв'язання цієї системи рівнянь. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  17. Розв'яжемо перше рівняння відносно x: x = (-24 + 11y) / 5

  18. Підставимо цей вираз для x у друге рівняння: 105y + 35z = 327

  19. Розширимо та упростимо рівняння: 105y + 35z = 327

  20. Тепер ми маємо дві системи лінійних рівнянь: 105y + 35z = 327 -5x - 11y = -24

  21. Ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення для розв'язання цієї системи рівнянь. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  22. Розв'яжемо перше рівняння відносно z: z = (327 - 105y) / 35

  23. Підставимо цей вираз для z у друге рівняння: -5x - 11y = -24

  24. Розширимо та упростимо рівняння: -5x - 11y = -24

  25. Тепер ми маємо дві системи лінійних рівнянь: -5x - 11y = -24 z = (327 - 105y) / 35

  26. Ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення для розв'язання цієї системи рівнянь. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  27. Розв'яжемо перше рівняння відносно x: x = (-24 + 11y) / 5

  28. Підставимо цей вираз для x у друге рівняння: z = (327 - 105y) / 35

  29. Розширимо та упростимо рівняння: z = (327 - 105y) / 35

  30. Тепер ми маємо дві системи лі��ійних рівнянь: x = (-24 + 11y

Вступ

Алгебра - це галузь математики, яка вивчає співвідношення між змінними та константами. Вона є фундаментальним інструментом для розуміння багатьох природних явищ та технічних процесів. У цьому розділі ми розглянемо кілька завдань із алгебри та спробуємо їх вирішити.

Q&A

Питання 1: Що таке лінійна система рівнянь?

Відповідь: Лінійна система рівнянь - це набір лінійних рівнянь, які мають спільні змінні. Наприклад:

2x + 3y = 7 x - 2y = -3

Питання 2: Як розв'язати лінійну систему рівнянь?

Відповідь: Для розв'язання лінійної системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  1. Розв'яжемо перше рівняння відносно x: 2x = 7 - 3y x = (7 - 3y) / 2

  2. Підставимо цей вираз для x у друге рівняння: ((7 - 3y) / 2) - 2y = -3

  3. Розширимо та упростимо рівняння: 7 - 3y - 4y = -6 -7y = -13 y = 13/7

  4. Підставимо цей вираз для y у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: 2x + 3(13/7) = 7 2x + 39/7 = 7 14x + 39 = 49 14x = 10 x = 10/14 x = 5/7

Питання 3: Що таке квадратична система рівнянь?

Відповідь: Квадратична система рівнянь - це набір квадратичних рівнянь, які мають спільні змінні. Наприклад:

x^2 + 4y = 12 x^2 - 2y = 4

Питання 4: Як розв'язати квадратичну систему рівнянь?

Відповідь: Для розв'язання квадратичної системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  1. Розв'яжемо перше рівняння відносно x^2: x^2 = 12 - 4y

  2. Підставимо цей вираз для x^2 у друге рівняння: (12 - 4y) - 2y = 4

  3. Розширимо та упростимо рівняння: 12 - 6y = 4 -6y = -8 y = 8/6 y = 4/3

  4. Підставимо цей вираз для y у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: x^2 + 4(4/3) = 12 x^2 + 16/3 = 12 3x^2 + 16 = 36 3x^2 = 20 x^2 = 20/3 x = ±√(20/3)

Питання 5: Що таке система лінійних рівнянь з трьома змінними?

Відповідь: Система лінійних рівнянь з трьома змінними - це набір лінійних рівнянь, які мають три спільні змінні. Наприклад:

2x + 3y + z = 7 x - 2y + 3z = -3 4x + 2y - z = 10

Питання 6: Як розв'язати систему лінійних рівнянь з трьома змінними?

Відповідь: Для розв'язання системи лінійних рівнянь з трьома змінними ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У цьому випадку ми використовуватимемо метод заміни.

  1. Розв'яжемо перше рівняння відносно z: z = 7 - 2x - 3y

  2. Підставимо цей вираз для z у друге рівняння: x - 2y + 3(7 - 2x - 3y) = -3

  3. Розширимо та упростимо рівняння: x - 2y + 21 - 6x - 9y = -3 -5x - 11y = -24

  4. Підставимо цей вираз для z у одне з рівнянь, наприклад, перше рівняння: 4x + 2y - (7 - 2x - 3y) = 10

  5. Розширимо та упростимо рівняння: 4x + 2y - 7 + 2x + 3y = 10 6x + 5y = 17

Питання 7: Як вибрати метод розв'язання системи лінійних рівнянь?

Відповідь: Для вибору методу розв'язання системи лінійних рівнянь ми повинні розглядати наступні фактори:

  • Кількість змінних у системі рівнянь
  • Тип системи рівнянь (лінійна чи квадратична)
  • Складність системи рівнянь

У випадку лінійної системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У випадку квадратичної системи рівнянь ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення. У випадку системи лінійних рівнянь з трьома змінними ми можемо використовувати метод заміни або метод доповнення.

Питання 8: Як перевірити розв'язок системи лінійних рівнянь?

Відповідь: Для перевірки розв'язку системи лінійних рівнянь ми повинні підставити отримані значення змінних у одне з рівнянь системи. Якщо отримані значення змінних задовольняють цьому рівнянню, то розв'язок системи лінійних рівнянь вірний.

Наприклад, якщо ми маємо систему лінійних рівнянь:

2x + 3y = 7 x - 2y = -3

і отримали розв'язок x = 5/7, y = 13/7, ми повинні перевірити цей розв'язок підставивши його у одне з рівнянь системи:

2(5/7) + 3(13/7) = 7 10/7 + 39/7 = 7 49/7 = 7

Після перевірки ми бачимо, що отримані значення змінних задовольняють цьому рівнянню, тому розв'язок системи лінійних рівнянь вірний.