Dans Un Repère Orthonormé Du Plan, On Considère :- La Droite \[$d\$\] D'équation \[$x + 3y + 7 = 0\$\].- Le Point \[$B\$\] De Coordonnées \[$(5, -14)\$\].\[$\vec{n} = \binom{1}{3}\$\] Est Un Vecteur Normal À

Calcul de la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan

Dans ce chapitre, nous allons étudier la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan. Nous considérerons la droite d'équation $x + 3y + 7 = 0$ et le point $B$ de coordonnées $(5, -14)$. Nous allons également utiliser le vecteur normal $\vec{n} = \binom{1}{3}$ pour calculer la distance entre la droite et le point.

Définition de la distance entre une droite et un point

La distance entre une droite et un point est la longueur du segment de droite qui joint le point à la droite. Cette distance peut être calculée à l'aide de la formule :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.

Calcul de la distance entre la droite et le point

Dans notre cas, la droite a l'équation $x + 3y + 7 = 0$, ce qui signifie que $A = 1$, $B = 3$ et $C = 7$. Le point $B$ a les coordonnées $(5, -14)$.

En remplaçant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :

$$d = \frac{|1(5) + 3(-14) + 7|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$$

$$d = \frac{|5 - 42 + 7|}{\sqrt{1 + 9}}$$

$$d = \frac{|-30|}{\sqrt{10}}$$

$$d = \frac{30}{\sqrt{10}}$$

Simplification de la distance

Pour simplifier la distance, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{10}$ :

$$d = \frac{30}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$$

$$d = \frac{30\sqrt{10}}{10}$$

$$d = 3\sqrt{10}$$

Conclusion

La distance entre la droite d'équation $x + 3y + 7 = 0$ et le point $B$ de coordonnées $(5, -14)$ est de $3\sqrt{10}$.

Exercice

Calculer la distance entre la droite d'équation $2x + 5y - 3 = 0$ et le point $A$ de coordonnées $(2, 1)$.

Réponse

La distance entre la droite d'équation $2x + 5y - 3 = 0$ et le point $A$ de coordonnées $(2, 1)$ est de $\frac{1}{\sqrt{29}}$.

Remarque

La distance entre une droite et un point peut être calculée à l'aide de la formule :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.

Exercice supplémentaire

Calculer la distance entre la droite d'équation $x - 2y + 4 = 0$ et le point $C$ de coordonnées $(3, 2)$.

Réponse

La distance entre la droite d'équation $x - 2y + 4 = 0$ et le point $C$ de coordonnées $(3, 2)$ est de $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Remarque supplémentaire

La distance entre une droite et un point peut être calculée à l'aide de la formule :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.

Conclusion finale

La distance entre une droite et un point peut être calculée à l'aide de la formule :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.

Cette formule peut être utilisée pour calculer la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan.
Q&A : Calcul de la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan

Dans ce chapitre, nous allons répondre à des questions fréquentes sur le calcul de la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan.

Q1 : Qu'est-ce que la distance entre une droite et un point ?

R1 : La distance entre une droite et un point est la longueur du segment de droite qui joint le point à la droite.

Q2 : Comment calculer la distance entre une droite et un point ?

R2 : La distance entre une droite et un point peut être calculée à l'aide de la formule :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.

Q3 : Quels sont les coefficients de la droite ?

R3 : Les coefficients de la droite sont les coefficients de l'équation de la droite. Par exemple, pour la droite d'équation $x + 3y + 7 = 0$, les coefficients sont $A = 1$, $B = 3$ et $C = 7$.

Q4 : Comment trouver les coordonnées du point ?

R4 : Les coordonnées du point sont les coordonnées du point dans le repère orthonormé du plan. Par exemple, pour le point $B$ de coordonnées $(5, -14)$, les coordonnées sont $x = 5$ et $y = -14$.

Q5 : Comment simplifier la distance ?

R5 : La distance peut être simplifiée en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{A^2 + B^2}$.

Q6 : Quel est l'intérêt de calculer la distance entre une droite et un point ?

R6 : Le calcul de la distance entre une droite et un point est important dans de nombreux domaines, notamment la géométrie, la trigonométrie et la physique.

Q7 : Comment utiliser la formule pour calculer la distance ?

R7 : Pour calculer la distance, il faut remplacer les valeurs de $A$, $B$, $C$, $x$ et $y$ dans la formule et simplifier la distance.

Q8 : Quels sont les types de droites qui peuvent être utilisés pour calculer la distance ?

R8 : Les types de droites qui peuvent être utilisés pour calculer la distance sont les droites d'équation $Ax + By + C = 0$, où $A$, $B$ et $C$ sont des nombres réels.

Q9 : Comment calculer la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan ?

R9 : Pour calculer la distance entre une droite et un point dans un repère orthonormé du plan, il faut utiliser la formule :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.

Q10 : Quel est l'objectif du calcul de la distance entre une droite et un point ?

R10 : L'objectif du calcul de la distance entre une droite et un point est de trouver la longueur du segment de droite qui joint le point à la droite.

Conclusion

Le calcul de la distance entre une droite et un point est un concept important dans la géométrie et la trigonométrie. La formule pour calculer la distance est :

$$d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

où $(x, y)$ sont les coordonnées du point, et $A$, $B$, $C$ sont les coefficients de la droite.