Dana Jest Funkcja Kwadratowa F, Której Wzór Zapisany W Postaci Iloczynowej Ma Postać f(x)= 2x(x-2) A W Postaci Kanonicznej: F(x)= 2(x-1)^2-2 1.Zbiorem Wszystkich Rozwiązań Nierówności Jest F(x)>0 2.Funkcja G(x)= F(x+2)+2 Ma

by ADMIN 224 views

Rozwiązywanie Nierówności Funkcjonalnych z Użyciem Postaci Iloczynowej i Kanonicznej

Wprowadzenie

W dziedzinie matematyki, zwłaszcza w teorii funkcji, istnieją różne sposoby przedstawiania funkcji w postaci iloczynowej i kanonicznej. W tym artykule omówimy funkcję kwadratową f(x), która ma postać iloczynową f(x) = 2x(x-2) i postać kanoniczną f(x) = 2(x-1)^2 - 2. Będziemy również rozwiązywać nierówność f(x) > 0, która jest zbiorem wszystkich rozwiązań.

Postać Iloczynowa Funkcji Kwadratowej

Funkcja kwadratowa f(x) ma postać iloczynową:

f(x) = 2x(x-2)

Ta postać iloczynowa wskazuje, że funkcja jest wielomianem kwadratowym o stopniu 2. Wielomiany kwadratowe mają postać:

ax^2 + bx + c

W naszym przypadku, a = 2, b = -4 i c = 4.

Postać Kanoniczna Funkcji Kwadratowej

Funkcja kwadratowa f(x) ma również postać kanoniczną:

f(x) = 2(x-1)^2 - 2

Ta postać kanoniczna wskazuje, że funkcja jest wielomianem kwadratowym o stopniu 2, który został przesunięty wzdłuż osi x. Wielomiany kwadratowe w postaci kanonicznej mają postać:

a(x-h)^2 + k

W naszym przypadku, a = 2, h = 1 i k = -2.

Rozwiązywanie Nierówności Funkcjonalnych

Nierówność f(x) > 0 jest zbiorem wszystkich rozwiązań. Aby rozwiązać tę nierówność, musimy znaleźć wartości x, dla których f(x) > 0.

Metoda 1: Użycie Postaci Iloczynowej

Aby rozwiązać nierówność f(x) > 0, możemy użyć postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:

f(x) = 2x(x-2)

Nierówność f(x) > 0 jest równoważna nierówności:

2x(x-2) > 0

Aby rozwiązać tę nierówność, możemy użyć reguły znaków:

  • Jeśli x > 2, to 2x > 0 i (x-2) > 0, więc 2x(x-2) > 0.
  • Jeśli -2 < x < 2, to 2x > 0 i (x-2) < 0, więc 2x(x-2) < 0.
  • Jeśli x < -2, to 2x < 0 i (x-2) < 0, więc 2x(x-2) > 0.

Z powyższych wyników wynika, że nierówność f(x) > 0 jest spełniona, gdy x > 2 lub x < -2.

Metoda 2: Użycie Postaci Kanonicznej

Aby rozwiązać nierówność f(x) > 0, możemy użyć postaci kanonicznej funkcji kwadratowej:

f(x) = 2(x-1)^2 - 2

Nierówność f(x) > 0 jest równoważna nierówności:

2(x-1)^2 - 2 > 0

Aby rozwiązać tę nierówność, możemy użyć reguły znaków:

  • Jeśli x > 1, to (x-1)^2 > 0 i 2(x-1)^2 > 0, więc 2(x-1)^2 - 2 > 0.
  • Jeśli x < 1, to (x-1)^2 > 0 i 2(x-1)^2 < 0, więc 2(x-1)^2 - 2 < 0.

Z powyższych wyników wynika, że nierówność f(x) > 0 jest spełniana, gdy x > 1.

Funkcja g(x)

Funkcja g(x) jest zdefiniowana jako:

g(x) = f(x+2) + 2

Aby znaleźć postać kanoniczną funkcji g(x), możemy użyć postaci kanonicznej funkcji kwadratowej f(x):

f(x) = 2(x-1)^2 - 2

Zamiana x na x+2 daje:

f(x+2) = 2((x+2)-1)^2 - 2 = 2(x+1)^2 - 2

Dodanie 2 do obu stron daje:

g(x) = 2(x+1)^2 - 2 + 2 = 2(x+1)^2

Ta postać kanoniczna wskazuje, że funkcja g(x) jest wielomianem kwadratowym o stopniu 2, który został przesunięty wzdłuż osi x.

Podsumowanie

W tym artykule omówiliśmy funkcję kwadratową f(x), która ma postać iloczynową f(x) = 2x(x-2) i postać kanoniczną f(x) = 2(x-1)^2 - 2. Rozwiązałem nierówność f(x) > 0, która jest zbiorem wszystkich rozwiązań. Ponadto, omówiliśmy funkcję g(x), która jest zdefiniowana jako g(x) = f(x+2) + 2.
Pytania i Odpowiedzi dotyczące Funkcji Kwadratowej i Nierówności Funkcjonalnych

Część 1: Pytania i Odpowiedzi dotyczące Funkcji Kwadratowej

Q: Co to jest funkcja kwadratowa? A: Funkcja kwadratowa to funkcja, która ma postać wielomianu kwadratowego o stopniu 2. Przykładem funkcji kwadratowej jest f(x) = x^2 + 2x + 1.

Q: Jakie są cechy funkcji kwadratowej? A: Funkcja kwadratowa ma następujące cechy:

  • Ma postać wielomianu kwadratowego o stopniu 2.
  • Ma jeden wierzchołek.
  • Jest symetryczna wokół wierzchołka.

Q: Jakie są rodzaje postaci funkcji kwadratowej? A: Funkcja kwadratowa może mieć następujące rodzaje postaci:

  • Postać iloczynową: f(x) = a(x-h)(x-k)
  • Postać kanoniczna: f(x) = a(x-h)^2 + k

Q: Jakie są zalety postaci kanonicznej funkcji kwadratowej? A: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma następujące zalety:

  • Jest łatwiejsza do obliczania.
  • Jest bardziej intuicyjna.

Część 2: Pytania i Odpowiedzi dotyczące Nierówności Funkcjonalnych

Q: Co to jest nierówność funkcyjna? A: Nierówność funkcyjna to nierówność, która zawiera funkcję. Przykładem nierówności funkcyjnej jest f(x) > 0.

Q: Jakie są rodzaje nierówności funkcyjnych? A: Nierówności funkcyjne mogą mieć następujące rodzaje:

  • Nierówność niezerowa: f(x) ≠ 0
  • Nierówność dodatnia: f(x) > 0
  • Nierówność ujemna: f(x) < 0

Q: Jakie są metody rozwiązywania nierówności funkcyjnych? A: Nierówności funkcyjne mogą być rozwiązane za pomocą następujących metod:

  • Metoda reguły znaków
  • Metoda wykresu funkcji
  • Metoda rozkładu na czynniki

Część 3: Pytania i Odpowiedzi dotyczące Funkcji g(x)

Q: Co to jest funkcja g(x)? A: Funkcja g(x) jest zdefiniowana jako g(x) = f(x+2) + 2.

Q: Jakie są cechy funkcji g(x)? A: Funkcja g(x) ma następujące cechy:

  • Jest funkcją kwadratową.
  • Ma postać kanoniczną: g(x) = 2(x+1)^2.

Q: Jakie są zalety funkcji g(x)? A: Funkcja g(x) ma następujące zalety:

  • Jest łatwiejsza do obliczania.
  • Jest bardziej intuicyjna.

Podsumowanie

W tym artykule omówiliśmy pytania i odpowiedzi dotyczące funkcji kwadratowej, nierówności funkcyjnych i funkcji g(x).