Dada A Seguinte Integral Tripla ∫ 3 0 ∫ 2 0 ∫ 1 0 F(x, Y, Z) Dz Dy Dx, Qual É O Valor Da Integral Se F(x, Y, Z) = X + Y + Z?
Introdução
A integração triplo é uma técnica fundamental na análise matemática, que consiste em encontrar o valor de uma integral múltipla de três variáveis. Neste artigo, vamos explorar a integração triplo e aplicá-la a um exemplo específico. A integral triplo é representada pela seguinte fórmula:
∫∫∫f(x, y, z) dz dy dx
Definição da Função
A função f(x, y, z) é dada por:
f(x, y, z) = x + y + z
Integração Triplo
Para encontrar o valor da integral triplo, precisamos integrar a função f(x, y, z) com respeito a cada uma das variáveis x, y e z. A ordem das integrações é importante, pois pode afetar o resultado final.
Integração com Respeito a z
A primeira integração é feita com respeito a z, que vai de 0 a 1. A integral é:
∫1 0 (x + y + z) dz
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(x + y + z) dz = (x + y)z + (1/2)z^2
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(x + y)z + (1/2)z^2] de 0 a 1 = (x + y)(1) + (1/2)(1)^2 - (x + y)(0) - (1/2)(0)^2 = x + y + 1/2
Integração com Respeito a y
A segunda integração é feita com respeito a y, que vai de 0 a 2. A integral é:
∫2 0 (x + y + 1/2) dy
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(x + y + 1/2) dy = xy + (1/2)y^2 + (1/2)y
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(xy + (1/2)y^2 + (1/2)y)] de 0 a 2 = (x)(2) + (1/2)(2)^2 + (1/2)(2) - (x)(0) - (1/2)(0)^2 - (1/2)(0) = 2x + 2 + 1
Integração com Respeito a x
A terceira integração é feita com respeito a x, que vai de 0 a 3. A integral é:
∫3 0 (2x + 3 + 1) dx
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(2x + 4) dx = x^2 + 4x
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(x^2 + 4x)] de 0 a 3 = (3)^2 + 4(3) - (0)^2 - 4(0) = 9 + 12 = 21
Conclusão
Portanto, o valor da integral triplo é 21. A integração triplo é uma técnica poderosa para encontrar o valor de integrais múltiplas de três variáveis. Neste artigo, aplicamos a integração triplo a uma função específica e encontramos o valor da integral.
Referências
- [1] Apostol, T. M. (1974). Calculus. Vol. 2. New York: Wiley.
- [2] Spivak, M. (1965). Calculus. New York: Benjamin.
Tabela de Integração Triplo
| Função | Valor da Integral Triplo |
|---|---|
| f(x, y, z) = x + y + z | 21 |
Exercícios
- Encontre o valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.
- Encontre o valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = xy + z.
Solução dos Exercícios
- A função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 pode ser integrada da seguinte forma:
∫∫∫(x^2 + y^2 + z^2) dz dy dx
A primeira integração é feita com respeito a z, que vai de 0 a 1. A integral é:
∫1 0 (x^2 + y^2 + z^2) dz
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(x^2 + y^2 + z^2) dz = x^2z + y^2z + (1/3)z^3
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(x^2z + y^2z + (1/3)z^3)] de 0 a 1 = (x^2)(1) + (y^2)(1) + (1/3)(1)^3 - (x^2)(0) - (y^2)(0) - (1/3)(0)^3 = x^2 + y^2 + 1/3
A segunda integração é feita com respeito a y, que vai de 0 a 2. A integral é:
∫2 0 (x^2 + y^2 + 1/3) dy
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(x^2 + y^2 + 1/3) dy = x^2y + (1/3)y^3 + (1/3)y
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(x^2y + (1/3)y^3 + (1/3)y)] de 0 a 2 = (x^2)(2) + (1/3)(2)^3 + (1/3)(2) - (x^2)(0) - (1/3)(0)^3 - (1/3)(0) = 2x^2 + 8/3 + 2/3
A terceira integração é feita com respeito a x, que vai de 0 a 3. A integral é:
∫3 0 (2x^2 + 10/3) dx
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(2x^2 + 10/3) dx = (2/3)x^3 + (10/3)x
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(2/3)x^3 + (10/3)x] de 0 a 3 = (2/3)(3)^3 + (10/3)(3) - (2/3)(0)^3 - (10/3)(0) = 18 + 10 = 28
Portanto, o valor da integral triplo é 28.
- A função f(x, y, z) = xy + z pode ser integrada da seguinte forma:
∫∫∫(xy + z) dz dy dx
A primeira integração é feita com respeito a z, que vai de 0 a 1. A integral é:
∫1 0 (xy + z) dz
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(xy + z) dz = xyz + (1/2)z^2
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(xyz + (1/2)z^2)] de 0 a 1 = (xy)(1) + (1/2)(1)^2 - (xy)(0) - (1/2)(0)^2 = xy + 1/2
A segunda integração é feita com respeito a y, que vai de 0 a 2. A integral é:
∫2 0 (xy + 1/2) dy
Para integrar, podemos usar a regra da potência:
∫(xy + 1/2) dy = xyy + (1/2)y^2
Agora, podemos aplicar os limites de integração:
[(xyy + (1/2)y^2)] de 0 a 2 = (x)(2)^2 + (1/2)(2)^2 - (x)(0)^2 - (1/2)(0)^2 = 4x + 2
A terceira integração é feita com respeito a x, que vai de 0 a 3. A integral é:
∫3 0 (4x + 2) dx
Pergunta 1: O que é integração triplo?
Resposta: A integração triplo é uma técnica matemática que consiste em encontrar o valor de uma integral múltipla de três variáveis. É uma extensão da integração dupla e é usada para resolver problemas que envolvem funções de três variáveis.
Pergunta 2: Como é feita a integração triplo?
Resposta: A integração triplo é feita em três passos:
- A primeira integração é feita com respeito a uma das variáveis, geralmente a variável que tem o menor intervalo de integração.
- A segunda integração é feita com respeito a uma das outras variáveis, geralmente a variável que tem o próximo menor intervalo de integração.
- A terceira integração é feita com respeito à última variável.
Pergunta 3: Qual é a ordem das integrações?
Resposta: A ordem das integrações é importante, pois pode afetar o resultado final. A ordem mais comum é:
- Integração com respeito a z
- Integração com respeito a y
- Integração com respeito a x
Pergunta 4: Como é feita a integração com respeito a z?
Resposta: A integração com respeito a z é feita integrando a função f(x, y, z) com respeito a z, dentro dos limites de integração. A integral é:
∫f(x, y, z) dz
Pergunta 5: Como é feita a integração com respeito a y?
Resposta: A integração com respeito a y é feita integrando a função f(x, y, z) com respeito a y, dentro dos limites de integração. A integral é:
∫f(x, y, z) dy
Pergunta 6: Como é feita a integração com respeito a x?
Resposta: A integração com respeito a x é feita integrando a função f(x, y, z) com respeito a x, dentro dos limites de integração. A integral é:
∫f(x, y, z) dx
Pergunta 7: Qual é o valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = x + y + z?
Resposta: O valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = x + y + z é 21.
Pergunta 8: Qual é o valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2?
Resposta: O valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é 28.
Pergunta 9: Qual é o valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = xy + z?
Resposta: O valor da integral triplo para a função f(x, y, z) = xy + z é 13.
Pergunta 10: Qual é a importância da integração triplo?
Resposta: A integração triplo é uma técnica importante na análise matemática, pois é usada para resolver problemas que envolvem funções de três variáveis. É uma ferramenta poderosa para encontrar soluções para problemas complexos em física, engenharia e outras áreas.