¿Cuál Es La Solución A Esta Ecuación? Log ⁡ ( 2 X − 100 ) = 3 \log (2x - 100) = 3 Lo G ( 2 X − 100 ) = 3 A. X = 100 X = 100 X = 100 B. X = 450 X = 450 X = 450 C. X = 550 X = 550 X = 550 D. X = 1 , 000 X = 1,000 X = 1 , 000

Resolviendo la Ecuación: ¿Cuál es la Solución a $\log (2x - 100) = 3$?

La ecuación $\log (2x - 100) = 3$ es un ejemplo clásico de ecuación que involucra la función logaritmo. En este artículo, exploraremos paso a paso cómo resolver esta ecuación y encontrar la solución correcta.

Introducción a la Función Logaritmo

La función logaritmo es una función matemática que se utiliza para calcular la potencia a la que se debe elevar un número para obtener otro número. La función logaritmo se define como:

$$\log_b(x) = y \iff b^y = x$$

donde $b$ es la base del logaritmo y $x$ es el número que se está calculando.

Resolviendo la Ecuación

Para resolver la ecuación $\log (2x - 100) = 3$, podemos comenzar elevando ambos lados de la ecuación a la potencia de la base del logaritmo. En este caso, la base del logaritmo es 10, por lo que podemos escribir:

$$10^{\log (2x - 100)} = 10^3$$

Simplificando la ecuación, obtenemos:

$$2x - 100 = 1000$$

Ahora, podemos resolver para $x$ sumando 100 a ambos lados de la ecuación:

$$2x = 1100$$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, obtenemos:

$$x = 550$$

Análisis de la Solución

La solución $x = 550$ es la única solución posible para la ecuación $\log (2x - 100) = 3$. Esto se debe a que la función logaritmo es una función creciente, lo que significa que como el argumento de la función logaritmo aumenta, el valor de la función logaritmo también aumenta.

Conclusión

En resumen, la solución a la ecuación $\log (2x - 100) = 3$ es $x = 550$. Esta solución se obtiene elevando ambos lados de la ecuación a la potencia de la base del logaritmo y resolviendo para $x$.

Otras Opciones

Las otras opciones, $x = 100$, $x = 450$ y $x = 1,000$, no son soluciones válidas para la ecuación $\log (2x - 100) = 3$. Esto se debe a que no satisfacen la ecuación y no son consistentes con la función logaritmo.

Preguntas Frecuentes

• ¿Cómo se resuelve una ecuación que involucra la función logaritmo?
• ¿Qué es la base del logaritmo y cómo se utiliza en la resolución de ecuaciones?
• ¿Cómo se puede verificar si una solución es válida para una ecuación que involucra la función logaritmo?

Respuestas

• Para resolver una ecuación que involucra la función logaritmo, se puede comenzar elevando ambos lados de la ecuación a la potencia de la base del logaritmo.
• La base del logaritmo es el número que se utiliza para calcular la potencia a la que se debe elevar un número para obtener otro número.
• Una solución es válida para una ecuación que involucra la función logaritmo si satisface la ecuación y es consistente con la función logaritmo.

Recursos Adicionales

• Para obtener más información sobre la función logaritmo y cómo se utiliza en la resolución de ecuaciones, se recomienda consultar un libro de matemáticas o un sitio web de matemáticas en línea.
• Para practicar la resolución de ecuaciones que involucran la función logaritmo, se recomienda utilizar un software de matemáticas o un sitio web de matemáticas en línea que ofrezca ejercicios y problemas para resolver.
  Preguntas y Respuestas: Resolviendo Ecuaciones con Logaritmos

En el artículo anterior, exploramos cómo resolver la ecuación $\log (2x - 100) = 3$ y encontramos la solución $x = 550$. En este artículo, respondemos a algunas de las preguntas más frecuentes sobre la resolución de ecuaciones con logaritmos.

Preguntas y Respuestas

Pregunta 1: ¿Cómo se resuelve una ecuación que involucra la función logaritmo?

Respuesta: Para resolver una ecuación que involucra la función logaritmo, se puede comenzar elevando ambos lados de la ecuación a la potencia de la base del logaritmo. Por ejemplo, si tenemos la ecuación $\log (2x - 100) = 3$, podemos escribir:

$$10^{\log (2x - 100)} = 10^3$$

Simplificando la ecuación, obtenemos:

$$2x - 100 = 1000$$

Ahora, podemos resolver para $x$ sumando 100 a ambos lados de la ecuación:

$$2x = 1100$$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, obtenemos:

$$x = 550$$

Pregunta 2: ¿Qué es la base del logaritmo y cómo se utiliza en la resolución de ecuaciones?

Respuesta: La base del logaritmo es el número que se utiliza para calcular la potencia a la que se debe elevar un número para obtener otro número. Por ejemplo, si tenemos la ecuación $\log (2x - 100) = 3$, la base del logaritmo es 10. Esto significa que podemos escribir:

$$10^{\log (2x - 100)} = 10^3$$

Simplificando la ecuación, obtenemos:

$$2x - 100 = 1000$$

Ahora, podemos resolver para $x$ sumando 100 a ambos lados de la ecuación:

$$2x = 1100$$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, obtenemos:

$$x = 550$$

Pregunta 3: ¿Cómo se puede verificar si una solución es válida para una ecuación que involucra la función logaritmo?

Respuesta: Una solución es válida para una ecuación que involucra la función logaritmo si satisface la ecuación y es consistente con la función logaritmo. Por ejemplo, si tenemos la ecuación $\log (2x - 100) = 3$, podemos verificar si la solución $x = 550$ es válida sustituyendo $x$ en la ecuación:

$$\log (2(550) - 100) = \log (1100 - 100) = \log (1000) = 3$$

Como la ecuación es verdadera, la solución $x = 550$ es válida.

Pregunta 4: ¿Cómo se pueden resolver ecuaciones que involucran logaritmos con bases diferentes?

Respuesta: Para resolver ecuaciones que involucran logaritmos con bases diferentes, se puede utilizar la propiedad de la función logaritmo que establece que:

$$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}$$

Por ejemplo, si tenemos la ecuación $\log_5(2x - 100) = 3$, podemos utilizar la propiedad anterior para escribir:

$$\log_5(2x - 100) = \frac{\log_{10}(2x - 100)}{\log_{10}(5)} = 3$$

Simplificando la ecuación, obtenemos:

$$\log_{10}(2x - 100) = 3\log_{10}(5)$$

Ahora, podemos resolver para $x$ sumando 100 a ambos lados de la ecuación:

$$2x = 100 + 3\log_{10}(5)$$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, obtenemos:

$$x = 50 + \frac{3}{2}\log_{10}(5)$$

Pregunta 5: ¿Cómo se pueden resolver ecuaciones que involucran logaritmos con argumentos negativos?

Respuesta: Para resolver ecuaciones que involucran logaritmos con argumentos negativos, se puede utilizar la propiedad de la función logaritmo que establece que:

$$\log_b(x) = y \iff b^y = x$$

Por ejemplo, si tenemos la ecuación $\log_5(-2x + 100) = 3$, podemos utilizar la propiedad anterior para escribir:

$$5^3 = -2x + 100$$

Simplificando la ecuación, obtenemos:

$$-2x = 100 - 125$$

Dividiendo ambos lados de la ecuación por -2, obtenemos:

$$x = 12.5$$

Conclusión

En resumen, la resolución de ecuaciones con logaritmos requiere una comprensión profunda de la función logaritmo y sus propiedades. Al utilizar las propiedades de la función logaritmo, podemos resolver ecuaciones que involucran logaritmos con bases diferentes y argumentos negativos.