Considere O Seguinte Sistema De Equações Lineares: { 2x - 5y + 2z = 0, X + Y + Z = 0, 2x + 0y + Kz = 0 } Para Que Valor De K, O Sistema Em Questão É Indeterminado? K = 2 K = 0 K = 1 K = -1 N. D. A.

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Sistemas de Equações Lineares: Encontrando o Valor de k para um Sistema Indeterminado

Os sistemas de equações lineares são uma ferramenta fundamental na matemática, sendo utilizados em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Um sistema de equações linear é composto por uma coleção de equações lineares, onde cada equação é uma combinação linear de variáveis. Neste artigo, vamos explorar um sistema de equações lineares específico e encontrar o valor de k para o qual o sistema é indeterminado.

O Sistema de Equações Lineares

O sistema de equações lineares em questão é o seguinte:

{ 2x - 5y + 2z = 0, x + y + z = 0, 2x + 0y + kz = 0 }

O que é um Sistema Indeterminado?

Um sistema de equações linear é considerado indeterminado quando não há uma solução única para as variáveis. Isso ocorre quando as equações são linearmente dependentes, ou seja, quando uma das equações pode ser obtida a partir das outras equações.

Encontrando o Valor de k

Para encontrar o valor de k para o qual o sistema é indeterminado, precisamos analisar as equações e ver se podemos obter uma das equações a partir das outras. Vamos começar por analisar a segunda equação:

x + y + z = 0

Multiplicando a Segunda Equação por 2

Se multiplicarmos a segunda equação por 2, obtemos:

2x + 2y + 2z = 0

Subtraindo a Terceira Equação

Agora, vamos subtrair a terceira equação da equação anterior:

(2x + 2y + 2z) - (2x + 0y + kz) = 0 - 0

Isso nos dá:

2y + 2z - kz = 0

Fatorando o Termo kz

Agora, vamos fatorar o termo kz:

2y + 2z - k(z) = 0

Isso nos dá:

2y + (2 - k)z = 0

Encontrando o Valor de k

Agora, precisamos encontrar o valor de k para o qual a equação anterior é verdadeira. Vamos analisar os casos:

  • Se k = 2, a equação se torna 2y + 0z = 0, o que é impossível.
  • Se k = 0, a equação se torna 2y + 2z = 0, o que é uma equação linearmente dependente.
  • Se k = 1, a equação se torna 2y + z = 0, o que é uma equação linearmente dependente.
  • Se k = -1, a equação se torna 2y - z = 0, o que é uma equação linearmente dependente.

Conclusão

Portanto, o valor de k para o qual o sistema é indeterminado é k = 0.

Referências

  • [1] "Sistemas de Equações Lineares" de Wikipedia.
  • [2] "Algebra Linear" de Gilbert Strang.

Discussão

O sistema de equações lineares em questão é um exemplo clássico de como encontrar o valor de k para o qual o sistema é indeterminado. A análise das equações e a manipulação das variáveis são fundamentais para chegar à solução. Além disso, a compreensão da linearidade dependente é crucial para entender como o sistema é indeterminado.

Perguntas Frequentes

  • O que é um sistema de equações linear?
  • O que é um sistema indeterminado?
  • Como encontrar o valor de k para o qual o sistema é indeterminado?

Respostas

  • Um sistema de equações linear é uma coleção de equações lineares.
  • Um sistema indeterminado é um sistema que não tem uma solução única.
  • Para encontrar o valor de k, precisamos analisar as equações e ver se podemos obter uma das equações a partir das outras.
    Perguntas e Respostas sobre Sistemas de Equações Lineares =====================================================

Pergunta 1: O que é um sistema de equações linear?

Resposta: Um sistema de equações linear é uma coleção de equações lineares, onde cada equação é uma combinação linear de variáveis. Exemplos de sistemas de equações lineares incluem:

  • 2x - 5y + 2z = 0
  • x + y + z = 0
  • 2x + 0y + kz = 0

Pergunta 2: O que é um sistema indeterminado?

Resposta: Um sistema de equações linear é considerado indeterminado quando não há uma solução única para as variáveis. Isso ocorre quando as equações são linearmente dependentes, ou seja, quando uma das equações pode ser obtida a partir das outras.

Pergunta 3: Como encontrar o valor de k para o qual o sistema é indeterminado?

Resposta: Para encontrar o valor de k, precisamos analisar as equações e ver se podemos obter uma das equações a partir das outras. Isso pode ser feito multiplicando, dividindo ou subtraindo as equações. Em seguida, precisamos encontrar o valor de k que torna a equação verdadeira.

Pergunta 4: Qual é o valor de k para o qual o sistema é indeterminado?

Resposta: O valor de k para o qual o sistema é indeterminado é k = 0.

Pergunta 5: O que é linearidade dependente?

Resposta: Linearidade dependente é quando uma das equações pode ser obtida a partir das outras equações. Isso ocorre quando as equações têm uma relação linear entre si.

Pergunta 6: Como saber se um sistema é linearmente dependente?

Resposta: Para saber se um sistema é linearmente dependente, precisamos analisar as equações e ver se podemos obter uma das equações a partir das outras. Isso pode ser feito multiplicando, dividindo ou subtraindo as equações.

Pergunta 7: Qual é a importância de entender sistemas de equações lineares?

Resposta: Entender sistemas de equações lineares é fundamental para resolver problemas em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Além disso, é importante para desenvolver habilidades de resolução de problemas e pensamento crítico.

Pergunta 8: Como aplicar sistemas de equações lineares em problemas reais?

Resposta: Sistemas de equações lineares podem ser aplicados em problemas reais, como:

  • Resolver problemas de física, como a movimentação de objetos em diferentes direções.
  • Resolver problemas de engenharia, como a construção de estruturas.
  • Resolver problemas de economia, como a análise de dados financeiros.

Pergunta 9: Qual é a diferença entre um sistema de equações linear e um sistema de equações não linear?

Resposta: Um sistema de equações linear é composto por equações lineares, enquanto um sistema de equações não linear é composto por equações não lineares. Isso significa que as equações não lineares têm uma relação não linear entre as variáveis.

Pergunta 10: Como resolver sistemas de equações não lineares?

Resposta: Resolver sistemas de equações não lineares é mais complexo do que resolver sistemas de equações lineares. Isso pode ser feito usando técnicas como a substituição, a eliminação e a aproximação. Além disso, é importante ter habilidades de resolução de problemas e pensamento crítico.