Considere, Num Plano Munido De Um Referencial O. N. Oxy, O Triângulo [ABC]. Sabe-se Que: C Pertence Ao Eixo Ox E Tem Abcissa Positiva; A E B Têm Coordenadas (0, 8) E (0, 18), Respetivamente; D(A, B)=d(A, C) Qual É A Área Do Triângulo [ABC] ?

Mar 10, 2025 by ADMIN 243 views

Resolvendo um Triângulo Mágico: Encontrando a Área do Triângulo [ABC]

Neste artigo, vamos resolver um problema de geometria que envolve um triângulo mágico. O problema é o seguinte: considere o plano cartesiano e o triângulo [ABC], onde C pertence ao eixo Ox e tem abcissa positiva, A e B têm coordenadas (0, 8) e (0, 18), respectivamente, e a distância entre A e B é igual à distância entre A e C. Nossa tarefa é encontrar a área do triângulo [ABC].

Para resolver este problema, precisamos entender as propriedades do triângulo e como podemos usar as coordenadas dos vértices para encontrar a área. Vamos começar analisando as coordenadas dos vértices.

A tem coordenadas (0, 8)
B tem coordenadas (0, 18)
C tem abcissa positiva e pertence ao eixo Ox

Calculando a Distância entre A e B

A distância entre A e B pode ser calculada usando a fórmula da distância:

d(A, B) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Substituindo as coordenadas de A e B, temos:

d(A, B) = √((0 - 0)^2 + (18 - 8)^2) = √(0 + 100) = √100 = 10

Calculando a Distância entre A e C

A distância entre A e C também pode ser calculada usando a fórmula da distância:

d(A, C) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

No entanto, não sabemos as coordenadas de C. Mas sabemos que C pertence ao eixo Ox e tem abcissa positiva. Isso significa que as coordenadas de C são (x, 0), onde x é um número positivo.

Substituindo as coordenadas de A e C, temos:

d(A, C) = √((x - 0)^2 + (0 - 8)^2) = √(x^2 + 64)

Equilibrando as Distâncias

Sabemos que a distância entre A e B é igual à distância entre A e C. Isso significa que podemos estabelecer a seguinte equação:

d(A, B) = d(A, C)

Substituindo as expressões para as distâncias, temos:

10 = √(x^2 + 64)

Resolvendo para x

Para resolver para x, podemos começar isolando a raiz quadrada:

√(x^2 + 64) = 10

Agora, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

x^2 + 64 = 100

Agora, podemos resolver para x:

x^2 = 36

x = ±6

No entanto, sabemos que x é um número positivo, pois C pertence ao eixo Ox e tem abcissa positiva. Portanto, x = 6.

Encontrando as Coordendas de C

Agora que sabemos o valor de x, podemos encontrar as coordenadas de C:

C = (6, 0)

Encontrando a Área do Triângulo [ABC]

Agora que sabemos as coordenadas de todos os vértices, podemos encontrar a área do triângulo [ABC] usando a fórmula da área:

Área = (base × altura) / 2

A base do triângulo é a distância entre A e C, que é 6. A altura do triângulo é a distância entre B e A, que é 10.

Área = (6 × 10) / 2 = 60 / 2 = 30

Pergunta 1: O que é um triângulo mágico?

Resposta: Um triângulo mágico é um triângulo que tem propriedades especiais, como a distância entre os vértices ser igual em todos os lados. No caso do triângulo [ABC], a distância entre A e B é igual à distância entre A e C.

Pergunta 2: Como foi possível encontrar as coordenadas de C?

Resposta: Foi possível encontrar as coordenadas de C porque sabíamos que C pertence ao eixo Ox e tem abcissa positiva. Isso significa que as coordenadas de C são (x, 0), onde x é um número positivo. Além disso, sabíamos que a distância entre A e C é igual à distância entre A e B, o que nos permitiu resolver para x.

Pergunta 3: Por que a área do triângulo [ABC] é 30?

Resposta: A área do triângulo [ABC] é 30 porque a base do triângulo é a distância entre A e C, que é 6, e a altura do triângulo é a distância entre B e A, que é 10. A fórmula da área é (base × altura) / 2, então a área do triângulo [ABC] é (6 × 10) / 2 = 30.

Pergunta 4: O que é a fórmula da área de um triângulo?

Resposta: A fórmula da área de um triângulo é (base × altura) / 2. A base do triângulo é a distância entre dois vértices, e a altura do triângulo é a distância entre o terceiro vértice e a linha que conecta os outros dois vértices.

Pergunta 5: Como posso aplicar a fórmula da área em outros problemas?

Resposta: A fórmula da área pode ser aplicada em qualquer problema que envolva um triângulo. Basta encontrar a base e a altura do triângulo e substituir esses valores na fórmula. Além disso, é importante lembrar que a base e a altura devem ser medidas em unidades iguais.

Pergunta 6: O que é a importância de saber calcular a área de um triângulo?

Resposta: Saber calcular a área de um triângulo é importante em muitas áreas, como geometria, física, engenharia e arquitetura. A área de um triângulo pode ser usada para calcular a área de um objeto, a quantidade de material necessária para construir algo, entre outros.

Pergunta 7: Como posso praticar para melhorar minhas habilidades em calcular a área de um triângulo?

Resposta: Você pode praticar calculando a área de triângulos com diferentes bases e alturas. Além disso, você pode tentar resolver problemas que envolvam triângulos, como encontrar a área de um triângulo com base e altura desconhecidas. A prática é a chave para melhorar suas habilidades em calcular a área de um triângulo.