Calcule A Derivada Da Função F(x) = X²-1 / X³
Introdução
A derivada de uma função é uma medida da taxa de variação da função em relação a uma variável independente. Ela é fundamental em muitas áreas da matemática, como análise, geometria e física. Neste artigo, vamos calcular a derivada da função f(x) = x² - 1 / x³.
Revisão de Conceitos
Antes de começarmos, é importante revisar alguns conceitos básicos sobre derivadas. A derivada de uma função f(x) é denotada por f'(x) e é definida como:
f'(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)]/h
Essa definição é baseada na ideia de que a taxa de variação da função em um ponto é igual à taxa de variação da função em um ponto próximo.
Calculando a Derivada
Agora, vamos calcular a derivada da função f(x) = x² - 1 / x³. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica para calcular a derivada de uma função composta.
A função f(x) é composta por duas funções: x² e -1 / x³. Vamos calcular a derivada de cada uma dessas funções separadamente.
Derivada de x²
A derivada de x² é simplesmente 2x.
Derivada de -1 / x³
Para calcular a derivada de -1 / x³, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é igual à derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa.
Nesse caso, a função interna é -1 e a função externa é 1 / x³. A derivada da função interna é 0, pois a derivada de uma constante é sempre 0. A derivada da função externa é -3 / x⁴.
Portanto, a derivada de -1 / x³ é:
(-1) * (-3 / x⁴) = 3 / x⁴
Calculando a Derivada da Função Composta
Agora que temos as derivadas das duas funções componentes, podemos calcular a derivada da função composta usando a regra da cadeia.
A derivada da função composta é igual à derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa. Nesse caso, a função interna é x² e a função externa é -1 / x³.
A derivada da função interna é 2x e a derivada da função externa é 3 / x⁴.
Portanto, a derivada da função composta é:
f'(x) = (2x) * (3 / x⁴) = 6 / x³
Conclusão
Neste artigo, calculamos a derivada da função f(x) = x² - 1 / x³ usando a regra da cadeia. A derivada da função composta é igual à derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa.
A derivada da função interna é 2x e a derivada da função externa é 3 / x⁴. Portanto, a derivada da função composta é:
f'(x) = (2x) * (3 / x⁴) = 6 / x³
Essa é a derivada da função f(x) = x² - 1 / x³.
Referências
- [1] Calculus, James Stewart, 7ª edição, Cengage Learning.
- [2] Derivadas, Wikipedia.
- [3] Regra da cadeia, Wikipedia.
Palavras-chave
- Derivada
- Função composta
- Regra da cadeia
- Matemática
- Análise
- Geometria
- Física
Perguntas e Respostas sobre a Derivada da Função f(x) = x² - 1 / x³ ====================================================================
Q: O que é a derivada de uma função?
A: A derivada de uma função é uma medida da taxa de variação da função em relação a uma variável independente. Ela é fundamental em muitas áreas da matemática, como análise, geometria e física.
Q: Como calcular a derivada de uma função composta?
A: Para calcular a derivada de uma função composta, você pode usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é igual à derivada da função interna multiplicada pela derivada da função externa.
Q: Qual é a derivada da função f(x) = x² - 1 / x³?
A: A derivada da função f(x) = x² - 1 / x³ é 6 / x³. Isso foi calculado usando a regra da cadeia e as derivadas das funções componentes.
Q: Por que é importante calcular a derivada de uma função?
A: Calcular a derivada de uma função é importante porque ela nos permite entender a taxa de variação da função em relação a uma variável independente. Isso é fundamental em muitas áreas da matemática, como análise, geometria e física.
Q: Quais são as aplicações da derivada em diferentes áreas da matemática?
A: A derivada tem aplicações em muitas áreas da matemática, incluindo:
- Análise: A derivada é usada para calcular a taxa de variação de funções em relação a uma variável independente.
- Geometria: A derivada é usada para calcular a taxa de variação de curvas e superfícies em relação a uma variável independente.
- Física: A derivada é usada para calcular a taxa de variação de grandezas físicas, como velocidade e aceleração.
Q: Como posso aplicar a derivada em problemas reais?
A: A derivada pode ser aplicada em problemas reais em muitas áreas, incluindo:
- Engenharia: A derivada é usada para calcular a taxa de variação de funções em relação a uma variável independente, o que é fundamental em problemas de projeto e otimização.
- Economia: A derivada é usada para calcular a taxa de variação de funções econômicas, como a taxa de juros e a inflação.
- Ciências naturais: A derivada é usada para calcular a taxa de variação de grandezas físicas, como velocidade e aceleração.
Q: Quais são os principais conceitos relacionados à derivada?
A: Os principais conceitos relacionados à derivada incluem:
- Função composta
- Regra da cadeia
- Derivada de uma função
- Taxa de variação
Q: Quais são as principais ferramentas utilizadas para calcular a derivada?
A: As principais ferramentas utilizadas para calcular a derivada incluem:
- Regra da cadeia
- Derivada de uma função
- Função composta
Q: Quais são as principais aplicações da derivada em diferentes áreas da matemática?
A: As principais aplicações da derivada em diferentes áreas da matemática incluem:
- Análise
- Geometria
- Física
- Engenharia
- Economia
- Ciências naturais
Q: Quais são os principais benefícios da derivada em diferentes áreas da matemática?
A: Os principais benefícios da derivada em diferentes áreas da matemática incluem:
- Entender a taxa de variação de funções em relação a uma variável independente
- Calcular a taxa de variação de grandezas físicas
- Otimizar funções e problemas
- Analisar e entender problemas complexos
Q: Quais são os principais desafios relacionados à derivada?
A: Os principais desafios relacionados à derivada incluem:
- Entender a regra da cadeia e a derivada de uma função
- Aplicar a derivada em problemas reais
- Entender as aplicações da derivada em diferentes áreas da matemática
Q: Quais são as principais ferramentas utilizadas para resolver problemas relacionados à derivada?
A: As principais ferramentas utilizadas para resolver problemas relacionados à derivada incluem:
- Regra da cadeia
- Derivada de uma função
- Função composta
- Cálculo
- Análise
Q: Quais são as principais aplicações da derivada em diferentes áreas da matemática?
A: As principais aplicações da derivada em diferentes áreas da matemática incluem:
- Análise
- Geometria
- Física
- Engenharia
- Economia
- Ciências naturais
Q: Quais são os principais benefícios da derivada em diferentes áreas da matemática?
A: Os principais benefícios da derivada em diferentes áreas da matemática incluem:
- Entender a taxa de variação de funções em relação a uma variável independente
- Calcular a taxa de variação de grandezas físicas
- Otimizar funções e problemas
- Analisar e entender problemas complexos