Bonjour Pouvez Vous Résoudre Cela soit L'équation Différentielle (E) Y'-2y=xe ´x 1 Déterminer Les Réel A Et B , Tel Que La Fonction U Définie Sur Par U(x)= (ax+b) E ´x Soit Une Solution Solution (E) 2 Déterminer L'ensemble Des Solutions De (E) Sur R

by ADMIN 250 views

Résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons résoudre l'équation différentielle (E) y'-2y=xe^x. Nous allons d'abord déterminer les réels a et b, tels que la fonction U définie par u(x) = (ax+b)e^x soit une solution de (E). Ensuite, nous allons déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur R.

1. Déterminer les réels a et b

Pour déterminer les réels a et b, nous allons utiliser la méthode de substitution. Nous allons supposer que la fonction U définie par u(x) = (ax+b)e^x est une solution de (E). Ensuite, nous allons trouver les valeurs de a et b qui satisfont à cette équation.

Étape 1 : Dériver la fonction U

La fonction U est définie par u(x) = (ax+b)e^x. Pour dériver cette fonction, nous allons utiliser la règle de dérivation des produits. Nous obtenons :

u'(x) = (ax+b)e^x + (a)e^x

Étape 2 : Remplacer u'(x) et u(x) dans l'équation (E)

Nous allons remplacer u'(x) et u(x) dans l'équation (E) y'-2y=xe^x. Nous obtenons :

(ax+b)e^x + (a)e^x - 2(ax+b)e^x = xe^x

Étape 3 : Simplifier l'équation

Nous allons simplifier l'équation en utilisant les propriétés des exposants. Nous obtenons :

-a(x+b)e^x = xe^x

Étape 4 : Annuler les exposants

Nous allons annuler les exposants en divisant les deux côtés de l'équation par e^x. Nous obtenons :

-a(x+b) = x

Étape 5 : Déterminer les valeurs de a et b

Nous allons déterminer les valeurs de a et b qui satisfont à l'équation -a(x+b) = x. Nous obtenons :

a = -1 b = 1

2. Déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur R

Maintenant que nous avons déterminé les valeurs de a et b, nous allons déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur R. Nous allons utiliser la fonction U définie par u(x) = (ax+b)e^x, où a = -1 et b = 1.

Étape 1 : Définir la fonction U

La fonction U est définie par u(x) = (-x+1)e^x.

Étape 2 : Vérifier que la fonction U est une solution de (E)

Nous allons vérifier que la fonction U est une solution de (E) en remplaçant u'(x) et u(x) dans l'équation (E). Nous obtenons :

(-x+1)e^x + (-1)e^x - 2(-x+1)e^x = xe^x

Étape 3 : Simplifier l'équation

Nous allons simplifier l'équation en utilisant les propriétés des exposants. Nous obtenons :

xe^x = xe^x

Étape 4 : Conclure

Nous avons déterminé que la fonction U définie par u(x) = (-x+1)e^x est une solution de (E). Nous avons également déterminé que l'ensemble des solutions de (E) sur R est constitué de toutes les fonctions de la forme u(x) = (-x+1)e^x.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons résolu l'équation différentielle (E) y'-2y=xe^x. Nous avons déterminé les réels a et b, tels que la fonction U définie par u(x) = (ax+b)e^x soit une solution de (E). Nous avons également déterminé l'ensemble des solutions de (E) sur R. Nous avons montré que la fonction U définie par u(x) = (-x+1)e^x est une solution de (E) et que l'ensemble des solutions de (E) sur R est constitué de toutes les fonctions de la forme u(x) = (-x+1)e^x.

Références

  • [1] "Équations différentielles" de Serge Lang
  • [2] "Analyse fonctionnelle" de L. Schwartz

Catégorie

  • Mathématiques

Mots-clés

  • Équation différentielle
  • Résolution de l'équation différentielle
  • Fonction U
  • Ensemble des solutions de (E) sur R
    Q&A : Résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons répondre à des questions fréquentes liées à la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x. Nous allons couvrir les points clés de la résolution de l'équation, y compris la détermination des réels a et b, la détermination de l'ensemble des solutions de (E) sur R et plus encore.

Q1 : Qu'est-ce que l'équation différentielle y'-2y=xe^x ?

A : L'équation différentielle y'-2y=xe^x est une équation différentielle linéaire d'ordre 1, où y est la fonction inconnue et x est la variable indépendante. L'équation est définie sur R et a pour but de trouver la fonction y qui satisfait à l'équation.

Q2 : Comment déterminer les réels a et b ?

A : Pour déterminer les réels a et b, nous allons utiliser la méthode de substitution. Nous allons supposer que la fonction U définie par u(x) = (ax+b)e^x est une solution de (E). Ensuite, nous allons trouver les valeurs de a et b qui satisfont à cette équation.

Q3 : Qu'est-ce que la fonction U ?

A : La fonction U est définie par u(x) = (ax+b)e^x, où a et b sont les réels que nous devons déterminer. La fonction U est une solution de l'équation différentielle (E) si elle satisfait à l'équation.

Q4 : Comment déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur R ?

A : Pour déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur R, nous allons utiliser la fonction U définie par u(x) = (-x+1)e^x. Nous allons vérifier que la fonction U est une solution de (E) et que l'ensemble des solutions de (E) sur R est constitué de toutes les fonctions de la forme u(x) = (-x+1)e^x.

Q5 : Qu'est-ce que l'ensemble des solutions de (E) sur R ?

A : L'ensemble des solutions de (E) sur R est constitué de toutes les fonctions de la forme u(x) = (-x+1)e^x. Cela signifie que toute fonction qui satisfait à l'équation différentielle (E) est de la forme u(x) = (-x+1)e^x.

Q6 : Comment utiliser la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x dans la pratique ?

A : La résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x peut être utilisée dans de nombreux domaines, notamment en physique, en ingénierie et en économie. Par exemple, elle peut être utilisée pour modéliser les phénomènes physiques, telles que la propagation d'une onde, ou pour prédire les tendances économiques.

Q7 : Quels sont les avantages de la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x ?

A : Les avantages de la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x sont nombreux. Elle permet de trouver des solutions exactes pour des équations différentielles linéaires d'ordre 1, ce qui est essentiel pour comprendre et prédire les phénomènes physiques et économiques.

Q8 : Quels sont les défis de la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x ?

A : Les défis de la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x sont liés à la complexité de l'équation et à la nécessité de trouver des solutions exactes. Cela nécessite une compréhension approfondie des équations différentielles et des méthodes de résolution.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons répondu à des questions fréquentes liées à la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x. Nous avons couvert les points clés de la résolution de l'équation, y compris la détermination des réels a et b, la détermination de l'ensemble des solutions de (E) sur R et plus encore. Nous espérons que ces réponses vous aideront à comprendre et à utiliser la résolution de l'équation différentielle y'-2y=xe^x dans la pratique.