Actividades: Obtén La Ecuación Que Pasa Por:a) \[$ P_1(15) \$\] Y \[$ P=(3,9) \$\]b) \[$ P_1(-3,-4) \$\] Y \[$ P_2(z, 1) \$\]c) \[$ P_1(z, 4) \$\] Y \[$ P_2(5,10) \$\]d) \[$ P_1(-4, Z) \$\] Y
Introducción
En matemáticas, la ecuación de una recta es una herramienta fundamental para describir la relación entre dos puntos en un plano cartesiano. En este artículo, exploraremos cómo obtener la ecuación que pasa por puntos dados en diferentes situaciones. Aprender a encontrar la ecuación de una recta es un paso crucial en el estudio de la geometría y la trigonometría.
a) P1(15) y P2(3,9)
Para encontrar la ecuación que pasa por los puntos P1(15) y P2(3,9), necesitamos determinar la pendiente de la recta que los une. La pendiente (m) se calcula como la diferencia entre las coordenadas y de los dos puntos dividida por la diferencia entre las coordenadas x de los dos puntos.
La ecuación de la pendiente se puede calcular de la siguiente manera:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
m = (9 - 15) / (3 - 15) m = -6 / -12 m = 1/2
Ahora que tenemos la pendiente, podemos usar la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta. La fórmula es:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
y - 15 = (1/2)(x - 15)
Para simplificar la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por 2 para eliminar la fracción:
2(y - 15) = x - 15
Ampliando y reorganizando los términos, obtenemos:
2y - 30 = x - 15
Sumando 30 a ambos lados y sumando 15 a ambos lados, obtenemos:
2y = x + 15
Dividiendo ambos lados por 2, obtenemos:
y = (x + 15) / 2
La ecuación que pasa por los puntos P1(15) y P2(3,9) es:
y = (x + 15) / 2
b) P1(-3,-4) y P2(z, 1)
Para encontrar la ecuación que pasa por los puntos P1(-3,-4) y P2(z, 1), necesitamos determinar la pendiente de la recta que los une. La pendiente (m) se calcula como la diferencia entre las coordenadas y de los dos puntos dividida por la diferencia entre las coordenadas x de los dos puntos.
La ecuación de la pendiente se puede calcular de la siguiente manera:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
m = (1 - (-4)) / (z - (-3)) m = (1 + 4) / (z + 3) m = 5 / (z + 3)
Ahora que tenemos la pendiente, podemos usar la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta. La fórmula es:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
y - (-4) = (5 / (z + 3))(x - (-3))
Para simplificar la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por (z + 3) para eliminar la fracción:
(y - (-4))(z + 3) = 5(x - (-3))
Ampliando y reorganizando los términos, obtenemos:
yz + 3y - 4z - 12 = 5x + 15
Reorganizando los términos, obtenemos:
yz - 4z + 3y - 12 = 5x + 15
Factorizando y - 4, obtenemos:
(y - 4)(z + 3) = 5x + 15
La ecuación que pasa por los puntos P1(-3,-4) y P2(z, 1) es:
(y - 4)(z + 3) = 5x + 15
c) P1(z, 4) y P2(5,10)
Para encontrar la ecuación que pasa por los puntos P1(z, 4) y P2(5,10), necesitamos determinar la pendiente de la recta que los une. La pendiente (m) se calcula como la diferencia entre las coordenadas y de los dos puntos dividida por la diferencia entre las coordenadas x de los dos puntos.
La ecuación de la pendiente se puede calcular de la siguiente manera:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
m = (10 - 4) / (5 - z) m = 6 / (5 - z)
Ahora que tenemos la pendiente, podemos usar la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta. La fórmula es:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
y - 4 = (6 / (5 - z))(x - z)
Para simplificar la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por (5 - z) para eliminar la fracción:
(y - 4)(5 - z) = 6(x - z)
Ampliando y reorganizando los términos, obtenemos:
5y - 20 - yz + 4z = 6x - 6z
Reorganizando los términos, obtenemos:
5y - yz + 4z - 20 = 6x - 6z
Factorizando y - 4, obtenemos:
(y - 4)(5 - z) = 6(x - z)
La ecuación que pasa por los puntos P1(z, 4) y P2(5,10) es:
(y - 4)(5 - z) = 6(x - z)
d) P1(-4, z) y P2(5,10)
Para encontrar la ecuación que pasa por los puntos P1(-4, z) y P2(5,10), necesitamos determinar la pendiente de la recta que los une. La pendiente (m) se calcula como la diferencia entre las coordenadas y de los dos puntos dividida por la diferencia entre las coordenadas x de los dos puntos.
La ecuación de la pendiente se puede calcular de la siguiente manera:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
m = (10 - z) / (5 - (-4)) m = (10 - z) / 9
Ahora que tenemos la pendiente, podemos usar la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta. La fórmula es:
y - y1 = m(x - x1)
Sustituyendo los valores dados, obtenemos:
y - z = ((10 - z) / 9)(x - (-4))
Para simplificar la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por 9 para eliminar la fracción:
9(y - z) = (10 - z)(x + 4)
Ampliando y reorganizando los términos, obtenemos:
9y - 9z = 10x + 40 - zx - 4z
Reorganizando los términos, obtenemos:
9y - 9z - 10x - 40 = -zx - 4z
Factorizando -z, obtenemos:
9y - 9z - 10x - 40 = -z(x + 4)
La ecuación que pasa por los puntos P1(-4, z) y P2(5,10) es:
9y - 9z - 10x - 40 = -z(x + 4)
En resumen, hemos encontrado las ecuaciones que pasan por los puntos dados en cada una de las situaciones. Estas ecuaciones se han obtenido utilizando la fórmula punto-pendiente y la pendiente de la recta que une los puntos.
¿Qué es una ecuación de recta?
Una ecuación de recta es una ecuación que describe la relación entre dos puntos en un plano cartesiano. Se utiliza para encontrar la ecuación que pasa por dos puntos dados.
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?
La pendiente de una recta se calcula como la diferencia entre las coordenadas y de los dos puntos dividida por la diferencia entre las coordenadas x de los dos puntos.
¿Qué es la fórmula punto-pendiente?
La fórmula punto-pendiente es una herramienta matemática que se utiliza para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. La fórmula es:
y - y1 = m(x - x1)
donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es uno de los puntos dados.
¿Cómo se utiliza la fórmula punto-pendiente?
Para utilizar la fórmula punto-pendiente, se necesitan los valores de la pendiente (m) y uno de los puntos dados (x1, y1). Se sustituyen estos valores en la fórmula y se resuelve para y.
¿Qué es la ecuación de una recta en forma estándar?
La ecuación de una recta en forma estándar es:
Ax + By + C = 0
donde A, B y C son constantes y x e y son las coordenadas de un punto en la recta.
¿Cómo se relaciona la ecuación de una recta en forma estándar con la fórmula punto-pendiente?
La ecuación de una recta en forma estándar se puede obtener a partir de la fórmula punto-pendiente. Si se conoce la pendiente (m) y un punto (x1, y1), se puede encontrar la ecuación de la recta en forma estándar.
¿Qué es la pendiente de una recta horizontal?
La pendiente de una recta horizontal es 0.
¿Qué es la pendiente de una recta vertical?
La pendiente de una recta vertical es infinita.
¿Cómo se encuentra la ecuación de una recta que pasa por dos puntos?
Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, se necesitan los valores de la pendiente (m) y uno de los puntos dados (x1, y1). Se utiliza la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta.
¿Qué es la ecuación de una recta que pasa por el origen?
La ecuación de una recta que pasa por el origen es:
y = mx
donde m es la pendiente de la recta.
¿Cómo se relaciona la ecuación de una recta que pasa por el origen con la fórmula punto-pendiente?
La ecuación de una recta que pasa por el origen se puede obtener a partir de la fórmula punto-pendiente. Si se conoce la pendiente (m), se puede encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen.
¿Qué es la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente de 0?
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente de 0 es:
x = x1
donde (x1, y1) es uno de los puntos dados.
¿Cómo se relaciona la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente de 0 con la fórmula punto-pendiente?
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente de 0 se puede obtener a partir de la fórmula punto-pendiente. Si se conoce que la pendiente (m) es 0, se puede encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente de 0.
¿Qué es la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente infinita?
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente infinita es:
x = x1
donde (x1, y1) es uno de los puntos dados.
¿Cómo se relaciona la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente infinita con la fórmula punto-pendiente?
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente infinita se puede obtener a partir de la fórmula punto-pendiente. Si se conoce que la pendiente (m) es infinita, se puede encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y tiene una pendiente infinita.