Ache O Termo Seguinte de Cada Uma Das Progeções Geométricas
Ache o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas
Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, chamado razão. A progressão geométrica é uma das formas mais importantes de progressão matemática e tem inúmeras aplicações em áreas como física, engenharia e economia.
Definição de Progressão Geométrica
Uma progressão geométrica é uma sequência de números que satisfaz a seguinte condição: cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, chamado razão. A razão é um número real não nulo e é denotada por "r".
Exemplo de Progressão Geométrica
Considere a sequência de números: 2, 6, 18, 54, ...
Essa sequência é uma progressão geométrica com razão r = 3, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 3.
Fórmula para o Termo n-ésimo de uma Progressão Geométrica
A fórmula para o termo n-ésimo de uma progressão geométrica é:
an = a1 × r^(n-1)
Onde:
- an é o termo n-ésimo da progressão geométrica
- a1 é o primeiro termo da progressão geométrica
- r é a razão da progressão geométrica
- n é o número do termo
Exemplo de Cálculo do Termo n-ésimo
Considere a progressão geométrica com a1 = 2 e r = 3. Queremos encontrar o termo 5-ésimo da progressão geométrica.
Usando a fórmula acima, temos:
a5 = 2 × 3^(5-1) = 2 × 3^4 = 2 × 81 = 162
Portanto, o termo 5-ésimo da progressão geométrica é 162.
Exercícios de Progressão Geométrica
Aqui estão alguns exercícios para praticar a cálculo do termo n-ésimo de uma progressão geométrica:
- Considere a progressão geométrica com a1 = 3 e r = 2. Encontre o termo 4-ésimo da progressão geométrica.
- Considere a progressão geométrica com a1 = 5 e r = 3. Encontre o termo 6-ésimo da progressão geométrica.
- Considere a progressão geométrica com a1 = 2 e r = 4. Encontre o termo 5-ésimo da progressão geométrica.
Resolução dos Exercícios
- Considere a progressão geométrica com a1 = 3 e r = 2. Encontre o termo 4-ésimo da progressão geométrica.
Usando a fórmula acima, temos:
a4 = 3 × 2^(4-1) = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Portanto, o termo 4-ésimo da progressão geométrica é 24.
- Considere a progressão geométrica com a1 = 5 e r = 3. Encontre o termo 6-ésimo da progressão geométrica.
Usando a fórmula acima, temos:
a6 = 5 × 3^(6-1) = 5 × 3^5 = 5 × 243 = 1215
Portanto, o termo 6-ésimo da progressão geométrica é 1215.
- Considere a progressão geométrica com a1 = 2 e r = 4. Encontre o termo 5-ésimo da progressão geométrica.
Usando a fórmula acima, temos:
a5 = 2 × 4^(5-1) = 2 × 4^4 = 2 × 256 = 512
Portanto, o termo 5-ésimo da progressão geométrica é 512.
Conclusão
Pergunta 1: O que é uma progressão geométrica?
Resposta: Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, chamado razão.
Pergunta 2: Como é calculado o termo n-ésimo de uma progressão geométrica?
Resposta: O termo n-ésimo de uma progressão geométrica é calculado usando a fórmula: an = a1 × r^(n-1), onde an é o termo n-ésimo da progressão geométrica, a1 é o primeiro termo da progressão geométrica, r é a razão da progressão geométrica e n é o número do termo.
Pergunta 3: Qual é a diferença entre progressão geométrica e progressão aritmética?
Resposta: A progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, chamado razão. Já a progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo é obtido somando um número fixo ao termo anterior.
Pergunta 4: Como é encontrado o primeiro termo de uma progressão geométrica?
Resposta: O primeiro termo de uma progressão geométrica é encontrado usando a fórmula: a1 = an / (r^(n-1)), onde an é o termo n-ésimo da progressão geométrica, r é a razão da progressão geométrica e n é o número do termo.
Pergunta 5: Qual é a importância da progressão geométrica em matemática?
Resposta: A progressão geométrica é uma ferramenta importante em matemática, pois é usada para modelar situações reais, como crescimento populacional, juros compostos e crescimento econômico.
Pergunta 6: Como é aplicada a progressão geométrica em problemas reais?
Resposta: A progressão geométrica é aplicada em problemas reais, como:
- Crescimento populacional: A progressão geométrica é usada para modelar o crescimento populacional de uma cidade ou país.
- Juros compostos: A progressão geométrica é usada para calcular os juros compostos em uma conta bancária.
- Crescimento econômico: A progressão geométrica é usada para modelar o crescimento econômico de um país ou região.
Pergunta 7: Como é resolvido um problema de progressão geométrica?
Resposta: Um problema de progressão geométrica é resolvido usando as seguintes etapas:
- Identificar a razão da progressão geométrica.
- Identificar o primeiro termo da progressão geométrica.
- Identificar o termo n-ésimo da progressão geométrica.
- Usar a fórmula para calcular o termo n-ésimo da progressão geométrica.
Pergunta 8: Qual é a importância da prática em progressão geométrica?
Resposta: A prática em progressão geométrica é importante, pois ajuda a desenvolver habilidades e conhecimentos em matemática, além de melhorar a compreensão e a aplicação da progressão geométrica em problemas reais.
Pergunta 9: Como é avaliado o conhecimento em progressão geométrica?
Resposta: O conhecimento em progressão geométrica é avaliado usando testes e provas, que podem incluir questões de múltipla escolha, resolução de problemas e provas escritas.
Pergunta 10: Qual é a relação entre progressão geométrica e outras áreas de matemática?
Resposta: A progressão geométrica está relacionada a outras áreas de matemática, como:
- Álgebra: A progressão geométrica é usada em problemas de álgebra, como resolução de equações e sistemas de equações.
- Geometria: A progressão geométrica é usada em problemas de geometria, como cálculo de áreas e volumes.
- Estatística: A progressão geométrica é usada em problemas de estatística, como cálculo de médias e desvios padrão.