A3. Fie ABCD Un Paralelogram. Să Se Aratecă Pentru Oricare Punct M Din Plan Areloc Relația: MA² + MC² = MB² + MD^2dacă Și Numai Dacă ABCD Este Dreptunghic.
A3. Fie ABCD un paralelogram. Să se arate că pentru oricare punct M din plan are loc relația: MA² + MC² = MB² + MD^2 dacă și numai dacă ABCD este dreptunghic.
Introducere
În geometrie, un paralelogram este un poligon cu patru laturi, în care toate perechile de laturi paralele. Un dreptunghic este un tip special de paralelogram, în care toate laturile au aceeași lungime. În acest articol, vom analiza relația MA² + MC² = MB² + MD^2 și vom arăta că aceasta este valabilă și numai dacă ABCD este dreptunghic.
Definirea problemului
Fie ABCD un paralelogram și M un punct din plan. Vom considera următoarea relație:
MA² + MC² = MB² + MD^2
Demonstrarea ipotezei
Pentru a demonstra că relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă și numai dacă ABCD este dreptunghic, vom folosi următoarea strategie:
- Demonstrarea că relația este valabilă dacă ABCD este dreptunghic
Dacă ABCD este dreptunghic, atunci toate laturile au aceeași lungime. Fie AB = BC = CD = DA = s. Apoi, vom considera punctul M și vom calcula lungimea laturilor MA, MC, MB și MD.
Calcularea lungimilor laturilor
Fie M punctul din plan. Apoi, lungimea laturilor MA, MC, MB și MD poate fi calculată folosind următoarele formule:
MA = √(x² + y²) MC = √(x² + (s-y)²) MB = √((s-x)² + y²) MD = √((s-x)² + (s-y)²)
unde x și y sunt coordonatele punctului M.
Demonstrarea că relația este valabilă
Înlocuind valorile lungimilor laturilor în relația MA² + MC² = MB² + MD^2, obținem:
x² + y² + x² + (s-y)² = (s-x)² + y² + (s-x)² + (s-y)²
Simplificând această ecuație, obținem:
2x² + s² - 2sy + y² = 2s² - 2sx - 2sy + s²
Combinând termenii similari, obținem:
2x² - 2sx = 0
Factorizând această ecuație, obținem:
2x(x - s) = 0
Deci, x = 0 sau x = s.
Concluzia
Dacă ABCD este dreptunghic, atunci relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă pentru oricare punct M din plan.
Demonstrarea că relația este valabilă numai dacă ABCD este dreptunghic
Pentru a demonstra că relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă numai dacă ABCD este dreptunghic, vom considera următoarea ipoteză:
- ABCD nu este dreptunghic.
Atunci, există cel puțin două laturi ale paralelogramului care au lungimi diferite. Fie AB și BC laturile care au lungimi diferite. Apoi, vom considera punctul M și vom calcula lungimea laturilor MA, MC, MB și MD.
Calcularea lungimilor laturilor
Fie M punctul din plan. Apoi, lungimea laturilor MA, MC, MB și MD poate fi calculată folosind următoarele formule:
MA = √(x² + y²) MC = √(x² + (s-y)²) MB = √((s-x)² + y²) MD = √((s-x)² + (s-y)²)
unde x și y sunt coordonatele punctului M.
Demonstrarea că relația nu este valabilă
Înlocuind valorile lungimilor laturilor în relația MA² + MC² = MB² + MD^2, obținem:
x² + y² + x² + (s-y)² = (s-x)² + y² + (s-x)² + (s-y)²
Simplificând această ecuație, obținem:
2x² + s² - 2sy + y² = 2s² - 2sx - 2sy + s²
Combinând termenii similari, obținem:
2x² - 2sx = 0
Factorizând această ecuație, obținem:
2x(x - s) = 0
Deci, x = 0 sau x = s.
Concluzia
Dacă ABCD nu este dreptunghic, atunci relația MA² + MC² = MB² + MD^2 nu este valabilă pentru oricare punct M din plan.
Concluzia finală
În concluzie, relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă și numai dacă ABCD este dreptunghic.
A3. Fie ABCD un paralelogram. Să se arate că pentru oricare punct M din plan are loc relația: MA² + MC² = MB² + MD^2 dacă și numai dacă ABCD este dreptunghic.
Q&A
Pregătirea pentru examen
Înainte de a începe, este important să înțelegem conceptele de bază ale geometriei. Un paralelogram este un poligon cu patru laturi, în care toate perechile de laturi paralele. Un dreptunghic este un tip special de paralelogram, în care toate laturile au aceeași lungime.
Pregunțe frecvente
Q: Ce este un paralelogram?
A: Un paralelogram este un poligon cu patru laturi, în care toate perechile de laturi paralele.
Q: Ce este un dreptunghic?
A: Un dreptunghic este un tip special de paralelogram, în care toate laturile au aceeași lungime.
Q: Cum se poate demonstra că relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă și numai dacă ABCD este dreptunghic?
A: Pentru a demonstra că relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă și numai dacă ABCD este dreptunghic, trebuie să urmați următoarea strategie:
- Demonstrarea că relația este valabilă dacă ABCD este dreptunghic
Dacă ABCD este dreptunghic, atunci toate laturile au aceeași lungime. Fie AB = BC = CD = DA = s. Apoi, vom considera punctul M și vom calcula lungimea laturilor MA, MC, MB și MD.
Calcularea lungimilor laturilor
Fie M punctul din plan. Apoi, lungimea laturilor MA, MC, MB și MD poate fi calculată folosind următoarele formule:
MA = √(x² + y²) MC = √(x² + (s-y)²) MB = √((s-x)² + y²) MD = √((s-x)² + (s-y)²)
unde x și y sunt coordonatele punctului M.
Demonstrarea că relația este valabilă
Înlocuind valorile lungimilor laturilor în relația MA² + MC² = MB² + MD^2, obținem:
x² + y² + x² + (s-y)² = (s-x)² + y² + (s-x)² + (s-y)²
Simplificând această ecuație, obținem:
2x² + s² - 2sy + y² = 2s² - 2sx - 2sy + s²
Combinând termenii similari, obținem:
2x² - 2sx = 0
Factorizând această ecuație, obținem:
2x(x - s) = 0
Deci, x = 0 sau x = s.
Concluzia
Dacă ABCD este dreptunghic, atunci relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă pentru oricare punct M din plan.
Q: Cum se poate demonstra că relația nu este valabilă dacă ABCD nu este dreptunghic?
A: Dacă ABCD nu este dreptunghic, atunci există cel puțin două laturi ale paralelogramului care au lungimi diferite. Fie AB și BC laturile care au lungimi diferite. Apoi, vom considera punctul M și vom calcula lungimea laturilor MA, MC, MB și MD.
Calcularea lungimilor laturilor
Fie M punctul din plan. Apoi, lungimea laturilor MA, MC, MB și MD poate fi calculată folosind următoarele formule:
MA = √(x² + y²) MC = √(x² + (s-y)²) MB = √((s-x)² + y²) MD = √((s-x)² + (s-y)²)
unde x și y sunt coordonatele punctului M.
Demonstrarea că relația nu este valabilă
Înlocuind valorile lungimilor laturilor în relația MA² + MC² = MB² + MD^2, obținem:
x² + y² + x² + (s-y)² = (s-x)² + y² + (s-x)² + (s-y)²
Simplificând această ecuație, obținem:
2x² + s² - 2sy + y² = 2s² - 2sx - 2sy + s²
Combinând termenii similari, obținem:
2x² - 2sx = 0
Factorizând această ecuație, obținem:
2x(x - s) = 0
Deci, x = 0 sau x = s.
Concluzia
Dacă ABCD nu este dreptunghic, atunci relația MA² + MC² = MB² + MD^2 nu este valabilă pentru oricare punct M din plan.
Concluzia finală
În concluzie, relația MA² + MC² = MB² + MD^2 este valabilă și numai dacă ABCD este dreptunghic.