5p 6). Fie Prisma Dreaptă ABCA'B'C' Cu Baza Triunghi Echilateral, AB = 10 Cm Şi AA = 10√√3 Cm. Punctele E Şi F Sunt Mijloacele Segmentelor AA Respective BB'. (2p) A) Arătați Că Aria Laterală A Prismei Este Mai Mică Decât 525 Cm²; (3p) B) Demonstrați Că

5p 6). Fie prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, AB = 10 cm şi AA = 10√3 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AA respective BB'.

Problema:

• a) Arătați că aria laterală a prismei este mai mică decât 525 cm²;
• b) Demonstrați că

Descompunerea prismei

Pentru a rezolva această problemă, vom descompune prisma în mai multe triunghiuri și pătrate. Vom începe prin a desena segmentele AE și BF, care sunt mijloacele segmentelor AA și BB'.

Figura 1: Descompunerea prismei

În figura 1, putem observa că prisma a fost descompusă în următoarele triunghiuri și pătrate:

• Triunghiul AEB
• Triunghiul AEF
• Triunghiul BFC
• Pătratul EFBF
• Pătratul AEFC

Calcularea ariei laterale

Aria laterală a prismei este suma ariilor lateralelor individuale. Pentru a calcula aria laterală, vom calcula aria fiecărei laterale individuale și le vom aduna.

Calcularea ariei lateralelor individuale

• Aria triunghiului AEB:

• Lungimea bazei: AB = 10 cm
• Înălțimea: AE = 5 cm (mijlocul segmentului AA)
• Formula pentru aria unui triunghi: A = (baza × înălțime) / 2
• Aria triunghiului AEB: A = (10 × 5) / 2 = 25 cm²

• Aria triunghiului AEF:

• Lungimea bazei: AE = 5 cm
• Înălțimea: AF = 5 cm (mijlocul segmentului BB')
• Formula pentru aria unui triunghi: A = (baza × înălțime) / 2
• Aria triunghiului AEF: A = (5 × 5) / 2 = 12,5 cm²

• Aria triunghiului BFC:

• Lungimea bazei: BF = 5 cm
• Înălțimea: BC = 10 cm (lungimea segmentului BB')
• Formula pentru aria unui triunghi: A = (baza × înălțime) / 2
• Aria triunghiului BFC: A = (5 × 10) / 2 = 25 cm²

• Aria pătratului EFBF:

• Lungimea laturii: EF = 5 cm
• Formula pentru aria unui pătrat: A = (latura)²
• Aria pătratului EFBF: A = (5)² = 25 cm²

• Aria pătratului AEFC:

• Lungimea laturii: AF = 5 cm
• Formula pentru aria unui pătrat: A = (latura)²
• Aria pătratului AEFC: A = (5)² = 25 cm²

Calcularea ariei laterale

Aria laterală a prismei este suma ariilor lateralelor individuale:

Aria laterală = Aria triunghiului AEB + Aria triunghiului AEF + Aria triunghiului BFC + Aria pătratului EFBF + Aria pătratului AEFC = 25 cm² + 12,5 cm² + 25 cm² + 25 cm² + 25 cm² = 112,5 cm²

Concluzia

Aria laterală a prismei este mai mică decât 525 cm².

Demonstrarea că

Pentru a demonstra că, vom analiza proprietățile prismei și vom arăta că are o anumită proprietate.

Proprietatea prismei

Prisma are o proprietate interesantă: orice secțiune transversală a prismei este un triunghi echilateral.

Demonstrarea proprietății

Pentru a demonstra această proprietate, vom considera o secțiune transversală a prismei, care este un triunghi ABC.

Figura 2: Secțiunea transversală a prismei

În figura 2, putem observa că triunghiul ABC este un triunghi echilateral.

Concluzia

Prisma are o proprietate interesantă: orice secțiune transversală a prismei este un triunghi echilateral.

Concluzia finală

În concluzie, aria laterală a prismei este mai mică decât 525 cm² și prisma are o proprietate interesantă: orice secțiune transversală a prismei este un triunghi echilateral.
Q&A: 5p 6). Fie prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, AB = 10 cm şi AA = 10√3 cm. Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AA respective BB'.

Întrebări frecvente

În continuare, vom răspunde la unele dintre cele mai frecvente întrebări legate de problema 5p 6).

Q: Ce este prisma dreaptă ABCA'B'C'?

A: Prisma dreaptă ABCA'B'C' este un corp geometric care are o bază triunghi echilateral și o înălțime egală cu lungimea segmentului AA.

Q: Ce sunt punctele E şi F?

A: Punctele E şi F sunt mijloacele segmentelor AA respective BB'.

Q: Ce este aria laterală a prismei?

A: Aria laterală a prismei este suma ariilor lateralelor individuale.

Q: Cum se calculează aria laterală a prismei?

A: Aria laterală a prismei se calculează prin adunarea ariilor lateralelor individuale, care sunt:

• Aria triunghiului AEB
• Aria triunghiului AEF
• Aria triunghiului BFC
• Aria pătratului EFBF
• Aria pătratului AEFC

Q: Ce este proprietatea interesantă a prismei?

A: Prisma are o proprietate interesantă: orice secțiune transversală a prismei este un triunghi echilateral.

Q: Cum se demonstrează proprietatea interesantă a prismei?

A: Proprietatea interesantă a prismei se demonstrează prin considerarea unei secțiuni transversale a prismei, care este un triunghi ABC.

Q: Ce este concluzia finală a problemei?

A: Concluzia finală a problemei este că aria laterală a prismei este mai mică decât 525 cm² și prisma are o proprietate interesantă: orice secțiune transversală a prismei este un triunghi echilateral.

Răspunsuri la întrebări frecvente

În continuare, vom răspunde la unele dintre cele mai frecvente întrebări legate de problema 5p 6).

Q: Cum se poate aplica problema 5p 6) în viața reală?

A: Problema 5p 6) poate fi aplicată în viața reală în domeniul ingineriei, unde se lucrează cu corpuri geometrice și se necesită calcularea ariilor laterale.

Q: Ce sunt beneficiile cunoașterii proprietăților prismei?

A: Cunoașterea proprietăților prismei poate fi benefică în domeniul ingineriei, unde se lucrează cu corpuri geometrice și se necesită calcularea ariilor laterale.

Q: Cum se poate extinde problema 5p 6) pentru a include alte corpuri geometrice?

A: Problema 5p 6) poate fi extinsă pentru a include alte corpuri geometrice, cum ar fi piramidele sau conurile.

Q: Ce sunt limitele problemei 5p 6)?

A: Limitele problemei 5p 6) sunt reprezentate de faptul că se lucrează cu corpuri geometrice și se necesită calcularea ariilor laterale.

Q: Cum se poate rezolva problema 5p 6) cu ajutorul unor instrumente matematice?

A: Problema 5p 6) poate fi rezolvată cu ajutorul unor instrumente matematice, cum ar fi formulele pentru ariile laterale ale prismelor.