50. Un Coleccionista De Arte Compró Por $\$1000$ Un Cuadro De Un Artista Cuya Obra Aumenta De Valor Con Frecuencia Respecto Al Tiempo Y De Acuerdo A La Fórmula $\frac{d V}{d T}=5 T^{3 / 2}+10 T+50$, Donde $V$ Dólares Es El

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Introducción

En el mundo del arte, la valoración de las obras de arte puede variar significativamente con el tiempo. Algunas obras pueden aumentar su valor rápidamente, mientras que otras pueden mantener su valor constante. En este problema, se nos da una fórmula que describe cómo aumenta el valor de un cuadro con el tiempo. La fórmula es dvdt=5t3/2+10t+50\frac{d v}{d t}=5 t^{3 / 2}+10 t+50, donde VV es el valor del cuadro en el tiempo tt. Nuestro objetivo es encontrar el valor del cuadro en un momento específico del tiempo.

La fórmula de valoración

La fórmula de valoración es dvdt=5t3/2+10t+50\frac{d v}{d t}=5 t^{3 / 2}+10 t+50. Esta fórmula describe cómo aumenta el valor del cuadro con el tiempo. La derivada de la función V(t)V(t) con respecto al tiempo tt es igual a la fórmula dada. Para encontrar el valor del cuadro en un momento específico del tiempo, debemos integrar la fórmula de valoración con respecto al tiempo.

Integración de la fórmula de valoración

Para integrar la fórmula de valoración, debemos encontrar la función V(t)V(t) que satisface la ecuación dvdt=5t3/2+10t+50\frac{d v}{d t}=5 t^{3 / 2}+10 t+50. La integración de la fórmula de valoración con respecto al tiempo tt nos da:

V(t)=∫(5t3/2+10t+50)dtV(t)=\int (5 t^{3 / 2}+10 t+50) dt

V(t)=107t7/2+5t2+50t+CV(t)=\frac{10}{7} t^{7 / 2}+5 t^2+50 t+C

donde CC es la constante de integración.

Condición inicial

Se nos da que el valor del cuadro en el momento inicial es $1000\$1000. Esto significa que cuando t=0t=0, V(t)=1000V(t)=1000. Podemos usar esta condición inicial para encontrar la constante de integración CC.

V(0)=107(0)7/2+5(0)2+50(0)+CV(0)=\frac{10}{7} (0)^{7 / 2}+5 (0)^2+50 (0)+C

1000=C1000=C

Entonces, la constante de integración CC es igual a 10001000.

Valor del cuadro en un momento específico del tiempo

Ahora que tenemos la función V(t)V(t), podemos encontrar el valor del cuadro en un momento específico del tiempo. Supongamos que queremos encontrar el valor del cuadro en el momento t=10t=10. Podemos sustituir t=10t=10 en la función V(t)V(t) para encontrar el valor del cuadro en ese momento.

V(10)=107(10)7/2+5(10)2+50(10)+1000V(10)=\frac{10}{7} (10)^{7 / 2}+5 (10)^2+50 (10)+1000

V(10)=107(1000)+500+500+1000V(10)=\frac{10}{7} (1000)+500+500+1000

V(10)=100007+2000V(10)=\frac{10000}{7}+2000

V(10)=100007+140007V(10)=\frac{10000}{7}+\frac{14000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

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V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

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V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

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V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

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V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

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V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

V(10)=240007V(10)=\frac{24000}{7}

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