2. Докажите, Что При Любом Значении Переменной Верно Нера- венство: a) (a + 5)² > A(a + 10); 6) А² + 5 ≥ 10(а - 2); в) (За - 2)(За + 2) - 12а < (За - 2)².

Mar 1, 2025 by ADMIN 156 views

Неравенство (а + 5)² > a(a + 10)

Чтобы доказать это неравенство, мы можем начать с расширения левой части:

(а + 5)² = а² + 10а + 25

Теперь, чтобы доказать, что это выражение больше, чем a(a + 10), мы можем переписать правую часть:

a(a + 10) = а² + 10а

Теперь мы видим, что левая часть (а² + 10а + 25) больше правой части (а² + 10а) на 25. Поскольку 25 всегда положительно, это означает, что левая часть всегда больше правой части, независимо от значения a.

(а + 5)² > а(а + 10)

Неравенство а² + 5 ≥ 10(а - 2)

Чтобы доказать это неравенство, мы можем начать с расширения правой части:

10(а - 2) = 10а - 20

Теперь, чтобы доказать, что а² + 5 больше или равно 10а - 20, мы можем переписать правую часть как:

10а - 20 = 10(а - 2)

Теперь мы видим, что левая часть (а² + 5) больше или равно правой части (10а - 20) на 20 + 5 = 25. Поскольку 25 всегда положительно, это означает, что левая часть всегда больше или равна правой части, независимо от значения a.

а² + 5 ≥ 10(а - 2)

Неравенство (За - 2)(За + 2) - 12а < (За - 2)²

Чтобы доказать это неравенство, мы можем начать с расширения левой части:

(За - 2)(За + 2) - 12а = а² - 4 - 12а

Теперь, чтобы доказать, что а² - 4 - 12а меньше (а - 2)², мы можем расширить правую часть:

(а - 2)² = а² - 4а + 4

Теперь мы видим, что левая часть (а² - 4 - 12а) меньше правой части (а² - 4а + 4) на 4а - 12а = -8а. Поскольку -8а всегда отрицательно, это означает, что левая часть всегда меньше правой части, независимо от значения a.

(За - 2)(За + 2) - 12а < (За - 2)²

Обобщение

Эти неравенства имеют важное значение в алгебре и могут быть использованы для решения различных задач. Например, они могут быть использованы для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции, или для решения систем уравнений.

Применение

Неравенства, доказанные в этом разделе, имеют широкое применение в алгебре и других областях математики. Например, они могут быть использованы для:

Находки наибольшего или наименьшего значения функции
Решения систем уравнений
Находки интервалов, на которых функция возрастает или убывает
Находки точек, на которых функция имеет максимальное или минимальное значение

Заключение

В этом разделе мы доказали три неравенства, которые верны для любого значения переменной a. Мы показали, что (а + 5)² всегда больше a(a + 10), а² + 5 всегда больше или равно 10(а - 2), а (а - 2)(а + 2) - 12а всегда меньше (а - 2)². Эти неравенства имеют важное значение в алгебре и могут быть использованы для решения различных задач.

Вопрос 1: Как доказать неравенство (а + 5)² > a(a + 10)?

Ответ: Чтобы доказать это неравенство, мы можем начать с расширения левой части: (а + 5)² = а² + 10а + 25. Затем мы можем переписать правую часть как a(a + 10) = а² + 10а. Теперь мы видим, что левая часть (а² + 10а + 25) больше правой части (а² + 10а) на 25. Поскольку 25 всегда положительно, это означает, что левая часть всегда больше правой части, независимо от значения a.

Вопрос 2: Как доказать неравенство а² + 5 ≥ 10(а - 2)?

Ответ: Чтобы доказать это неравенство, мы можем начать с расширения правой части: 10(а - 2) = 10а - 20. Затем мы можем переписать правую часть как 10(а - 2). Теперь мы видим, что левая часть (а² + 5) больше или равно правой части (10а - 20) на 20 + 5 = 25. Поскольку 25 всегда положительно, это означает, что левая часть всегда больше или равна правой части, независимо от значения a.

Вопрос 3: Как доказать неравенство (За - 2)(За + 2) - 12а < (За - 2)²?

Ответ: Чтобы доказать это неравенство, мы можем начать с расширения левой части: (За - 2)(За + 2) - 12а = а² - 4 - 12а. Затем мы можем расширить правую часть как (а - 2)² = а² - 4а + 4. Теперь мы видим, что левая часть (а² - 4 - 12а) меньше правой части (а² - 4а + 4) на 4а - 12а = -8а. Поскольку -8а всегда отрицательно, это означает, что левая часть всегда меньше правой части, независимо от значения a.

Вопрос 4: Какие области математики используют неравенства?

Ответ: Неравенства, доказанные в этом разделе, имеют широкое применение в алгебре и других областях математики. Например, они могут быть использованы для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции, или для решения систем уравнений.

Вопрос 5: Какие задачи можно решить с помощью неравенств?

Ответ: Неравенства, доказанные в этом разделе, могут быть использованы для решения различных задач, таких как:

Находки наибольшего или наименьшего значения функции
Решения систем уравнений
Находки интервалов, на которых функция возрастает или убывает
Находки точек, на которых функция имеет максимальное или минимальное значение

Вопрос 6: Какие преимущества имеют неравенства?

Ответ: Неравенства, доказанные в этом разделе, имеют важное значение в алгебре и могут быть использованы для решения различных задач. Они также могут быть использованы для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции, или для решения систем уравнений.

Вопрос 7: Какие сложности могут возникнуть при работе с неравенствами?

Ответ: При работе с неравенствами могут возникнуть сложности, такие как:

Трудности с доказательством неравенств
Трудности с нахождением наибольшего или наименьшего значения функции
Трудности с решением систем уравнений

Вопрос 8: Какие ресурсы можно использовать для изучения неравенств?

Ответ: Для изучения неравенств можно использовать различные ресурсы, такие как:

Тексты по алгебре
Учебники по алгебре
Онлайн-курсы по алгебре
Веб-сайты по алгебре

Вопрос 9: Какие советы можно дать для изучения неравенств?

Ответ: Для изучения неравенств можно дать следующие советы:

Начните с изучения базовых понятий алгебры
Практикуйте доказательство неравенств
Используйте различные ресурсы для изучения алгебры
Не бойтесь спрашивать о сложных вопросах

Вопрос 10: Какие перспективы есть для изучения неравенств?

Ответ: Для изучения неравенств есть широкие перспективы. Неравенства имеют важное значение в алгебре и могут быть использованы для решения различных задач. Кроме того, изучение неравенств может помочь в понимании различных концепций алгебры и их применения в реальных ситуациях.