1) Seja A Função Real Cuja Lei De Formação É Indicada A Seguir:$\[ F(x)=\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x-2}, \quad X\ \textless \ 3 \\ 4-x, \quad X \geq 3 \end{array}\right. \\]Em Relação À Função Apresentada, Analise As Seguintes Asserções E

Introdução

A função apresentada é uma função real com uma lei de formação específica, dividida em duas partes: uma para $x < 3$ e outra para $x \geq 3$. Nesta discussão, vamos analisar as asserções apresentadas e verificar se elas são verdadeiras ou falsas.

Asserções

1. A função é contínua em $x = 3$.
2. A função é diferenciável em $x = 3$.
3. A função tem um ponto crítico em $x = 3$.
4. A função tem um máximo em $x = 3$.
5. A função tem um mínimo em $x = 3$.

Análise da Função

A função $f(x)$ é definida como:

${ f(x)=\left\{\begin{array}{c} \sqrt{x-2}, \quad x\ \textless \ 3 \\ 4-x, \quad x \geq 3 \end{array}\right. }$

Para analisar a função, vamos começar por verificar a continuidade em $x = 3$.

Continuidade em $x = 3$

Para que a função seja contínua em $x = 3$, os seguintes requisitos devem ser satisfeitos:

• A função deve ser definida em $x = 3$.
• O limite da função em $x = 3$ deve existir.
• O valor da função em $x = 3$ deve ser igual ao limite da função em $x = 3$.

A função é definida em $x = 3$ pois $x \geq 3$. Além disso, o limite da função em $x = 3$ existe pois:

${\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \sqrt{x-2} = \sqrt{3-2} = 1}$

e

${\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (4-x) = 4-3 = 1}$

Portanto, o limite da função em $x = 3$ existe e é igual a 1. Além disso, o valor da função em $x = 3$ é igual a 1 pois $f(3) = 4-3 = 1$. Portanto, a função é contínua em $x = 3$.

Diferenciabilidade em $x = 3$

Para que a função seja diferenciável em $x = 3$, a função deve ser contínua em $x = 3$ e a derivada da função em $x = 3$ deve existir.

A função é contínua em $x = 3$ como verificado anteriormente. Além disso, a derivada da função em $x = 3$ existe pois:

${f'(x) = \left\{\begin{array}{c} \frac{1}{2\sqrt{x-2}}, \quad x\ \textless \ 3 \\ -1, \quad x \geq 3 \end{array}\right.}$

e

${f'(3) = -1}$

Portanto, a função é diferenciável em $x = 3$.

Ponto Crítico em $x = 3$

Um ponto crítico é um ponto em que a derivada da função é igual a zero ou não existe.

A derivada da função em $x = 3$ existe e é igual a -1. Portanto, não há um ponto crítico em $x = 3$.

Máximo em $x = 3$

Um máximo é um ponto em que a função atinge o valor máximo.

A função não atinge o valor máximo em $x = 3$ pois a função é contínua e diferenciável em $x = 3$ e a derivada da função em $x = 3$ é negativa. Portanto, não há um máximo em $x = 3$.

Mínimo em $x = 3$

Um mínimo é um ponto em que a função atinge o valor mínimo.

A função não atinge o valor mínimo em $x = 3$ pois a função é contínua e diferenciável em $x = 3$ e a derivada da função em $x = 3$ é negativa. Portanto, não há um mínimo em $x = 3$.

Conclusão

Em resumo, a função é contínua em $x = 3$ e diferenciável em $x = 3$. Além disso, não há um ponto crítico, máximo ou mínimo em $x = 3$.

Asserções Verificadas

1. A função é contínua em $x = 3$: VERDADEIRA
2. A função é diferenciável em $x = 3$: VERDADEIRA
3. A função tem um ponto crítico em $x = 3$: FALSA
4. A função tem um máximo em $x = 3$: FALSA
5. A função tem um mínimo em $x = 3$: FALSA
   Perguntas e Respostas sobre a Função =====================================

Perguntas Frequentes

Q: O que é a função apresentada? A: A função apresentada é uma função real com uma lei de formação específica, dividida em duas partes: uma para $x < 3$ e outra para $x \geq 3$.

Q: Por que a função é dividida em duas partes? A: A função é dividida em duas partes porque a lei de formação da função muda em $x = 3$. Para $x < 3$, a função é definida como $\sqrt{x-2}$, enquanto para $x \geq 3$, a função é definida como $4-x$.

Q: A função é contínua em $x = 3$? A: Sim, a função é contínua em $x = 3$. Isso significa que a função é definida em $x = 3$ e o limite da função em $x = 3$ existe e é igual ao valor da função em $x = 3$.

Q: A função é diferenciável em $x = 3$? A: Sim, a função é diferenciável em $x = 3$. Isso significa que a função é contínua em $x = 3$ e a derivada da função em $x = 3$ existe.

Q: Onde está o ponto crítico da função? A: Não há um ponto crítico da função. Isso significa que a derivada da função não é igual a zero em nenhum ponto.

Q: Onde está o máximo da função? A: Não há um máximo da função. Isso significa que a função não atinge o valor máximo em nenhum ponto.

Q: Onde está o mínimo da função? A: Não há um mínimo da função. Isso significa que a função não atinge o valor mínimo em nenhum ponto.

Dúvidas Comuns

Q: Por que a função é importante? A: A função é importante porque é um exemplo de uma função que é contínua e diferenciável em um ponto específico, mas não tem um ponto crítico, máximo ou mínimo.

Q: Como posso aplicar a função em problemas reais? A: A função pode ser aplicada em problemas reais que envolvem funções contínuas e diferenciáveis. Por exemplo, a função pode ser usada para modelar a relação entre duas variáveis que são contínuas e diferenciáveis.

Q: Como posso encontrar a derivada da função? A: A derivada da função pode ser encontrada usando a regra da cadeia e a regra da produto. Além disso, a derivada da função pode ser encontrada usando a definição de derivada.

Recursos Adicionais

• Livros de Matemática: Existem muitos livros de matemática que cobrem a teoria de funções e a análise de funções.
• Online: Existem muitos recursos online que cobrem a teoria de funções e a análise de funções, incluindo vídeos, artigos e exercícios.
• Professores: Se você tiver dúvidas sobre a função, é recomendável consultar um professor de matemática.

Conclusão

Em resumo, a função apresentada é uma função real com uma lei de formação específica, dividida em duas partes. A função é contínua e diferenciável em $x = 3$, mas não tem um ponto crítico, máximo ou mínimo. A função pode ser aplicada em problemas reais que envolvem funções contínuas e diferenciáveis. Além disso, a função pode ser usada para modelar a relação entre duas variáveis que são contínuas e diferenciáveis.